数学建模之微分方程建模与平衡点理论

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1、微分方程列微分方程常用的方法：（1）根据规律列方程利用数学、力学、物理、化学等学科中的定理或经过实验检验的规律来建立微分方程模型。（2）微元分析法利用已知的定理与规律寻找微元之间的关系式，与第一种方法不同的是对微元而不是直接对函数及其导数应用规律。（3）模拟近似法在生物、经济等学科的实际问题中，许多现象的规律性不很清楚，即使有所了解也是极其复杂的，建模时在不同的假设下去模拟实际的现象，建立能近似反映问题的微分方程，然后从数学上求解或分析所建方程及其解的性质，再去同实际情况对比，检验此模型能否刻画、模拟某些实际现象。一、模型的建立与求解1.1传染病模型（1）基础模型假设：

2、t时刻病人人数连续可微。每天每个病人有效接触（使病人治病的接触）的人数为，时有个病人。建模：t到病人人数增加（1）（2）解得：（3）所以，病人人数会随着t的增加而无限增长，结论不符合实际。（2）SI模型假设：1.疾病传播时期，总人数N保持不变。人群分为两类，健康者占总人数的比例为s(t),病人占总人数的比例为i(t)。2.每位病人每天平均有效接触人，为日接触率。有效接触后健康者变为病人。依据：患病人数的变化率=Ni(t)(原患病人数)*s(t)(每个病人每天使健康人变为病人的人数)建模：（4）由于（5）设t=0时刻病人所占的比例为，则可建立Logistic模型（6）解得

3、：（7）用Matlab绘制图1，图2图形如下，结论：在不考虑治愈情况下①当时达到最大值，这时②时人类全被感染。未考虑治愈情况。（3）SIS模型假设：1.疾病传播时期，总人数N保持不变。人群分为两类，健康者占总人数的比例为s(t),病人占总人数的比例为i(t)。2.每位病人每天平均有效接触人，为日接触率。有效接触后健康者变为病人。3.在所有病人中，每天有比例的人能被治愈，治愈后看作可被感染的健康者，传染病的平均传染期为。依据：患病人数的变化率=（患病人数的变化率）-(治愈率）建模：（8）（9）令为整个传染期内每位病人有效接触的平均人数，。则有（10）用Matlab绘制出（

4、图3，图5）和i~t（图4，图6）。结论：为一个阈值。①，极限值为增函数，的增减性由的大小确定。②，病人比例越来越小，最终趋于0。（4）SIR模型（某些疾病患者治愈后获得了很强的免疫力，不会再次被感染）假设：①总人数N不变，将人群分为健康者，病人，和病愈免疫的移除者，他们在总人数中所占的比例依次为，，。②为病人的日接触率，μ为日治愈率，为传染期接触数。建模：由假设1得（11）（12）令t=0时健康者与病人所占比例分别为，则有（13）利用Matlab绘制出，（图7），（图8）图形，图形称为相轨线。相轨线分析：利用相轨线讨论解，的性质。平面称为相平面，相轨线在其上的定义域为

5、为（14）消去方程中的，并由得到（15）解得：（16）在定义域内，相轨线是上式所表示的曲线，如图9所示，其中箭头表示随着时间的增加和的变化趋势。下面分析、和的变化情况（时它们的极限值分别记做和）①不论初始条件如何，病人最终会消失，，证明：首先，由式（13），，而，所以存在；由式（11），，而，所以存在；由式（11）得存在。其次，若，则由式（11），对于充分大的有，导致，与存在相矛盾。从图形来看，无论相轨线从何点出发，最终都将与轴相交。②令式（16）中，则最终未被感染的健康者的比例是，为方程（17）在内的根，在图形上表示为相轨线与s轴在内交点的横坐标。③若，则先增加，当时

6、，达到最大值（18）然后减小且趋于0，单调减小至，如图中由出发的相轨线。④若，则单调减小至0，单调减小至，如图中由出发的相轨线。结论：①若病人比例有一段时间增长即认为传染病在蔓延，则为一个阈值，时蔓延。可以通过减小使，使传染病不蔓延。②，减小时，增加，也能控制蔓延程度。1.2捕鱼模型考察一个渔场，其中鱼量在天然环境下按一定规律增长、如果捕捞量恰好等于增长量，那么渔场鱼量将保持不变，这个捕捞量就可以持续．①产量模型假设：为渔场中鱼量。1.无捕捞时，鱼的的增长服从logistic规律，即（19）其中：表示固有增长率，表示环境容许的最大鱼量，表示单位时间的增长量。2.用E表示

7、单位时间捕捞率，单位时间捕捞量和渔场鱼量成正比，则有单位时间捕捞量为（20）建模：捕捞情况下渔场鱼量满足（21）其中：。判断的稳定条件，求式（21）的平衡点，分析其稳定性。令式（21）为0，得两个平衡点：（22）稳定性判断当时，则点稳定，点不稳定。当时，则点稳定，点不稳定。分析：用表示捕捞率，r表示固有增长率。①当时，可使鱼量稳定在，获得稳定产量。②当时，稳定，渔场干枯。根据（19），（20）式分别绘制曲线及，使用Matlab绘制图形如下所示，得两曲线交点为P，则P横坐标为稳定平衡点，纵坐标为稳定条件下单位时间的产量，当交点位于抛物线顶点