[工学]线性代数讲义

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1、线性代数主讲教师：王琛晖厦门理工学院数理系教材：《线性代数》（第三版）赵树嫄主编中国人民大学出版社课件制作人：厦门理工学院数理系王琛晖第一章行列式§1.1二阶与三阶行列式用消元法解二元线性方程组一、二阶行列式的引入1.定义的引出方程组有唯一解为由方程组的四个系数确定.即主对角线副对角线对于二元线性方程组系数行列式2阶行列式的对角线法则2.二阶行列式的定义例解3.例子例解二、三阶行列式1.定义记.列标行标2.三阶行列式的计算对角线法则说明1红线上三元素的乘积冠以正号，蓝线上三元素的乘积冠以负号．说明2对角线法则只适用于二阶与三阶行列式．例解按对角线法则，有3.例

2、子例解方程左端§1.2n阶行列式一、相关概念和定理（排列和逆序）1.排列由n个不同数码1，2，…，n组成的有序数组，称为一个n级排列，用表示。例：2431——一个四级排列45321——一个五级排列12…n——一个n级排列注1：n级排列的总数为n!个。注2：12…n称为自然排列。例排列32514中，定义我们规定各元素之间有一个标准次序,n个不同的自然数，规定由小到大为标准次序.2.逆序32514逆序逆序逆序在一个排列中，若数则称这两个数组成一个逆序.一个排列中所有逆序的总数称为此排列的逆序数.记为例求排列32514的逆序数32514故此排列的逆序数为5.思考：求

3、n(n-1)···1排列的逆序数？(n-1)+(n-2)+…1=例逆序数为奇数的排列称为奇排列;逆序数为偶数的排列称为偶排列.3.排列的奇偶性例计算下列排列的逆序数，并讨论它的奇偶性.解此排列为偶排列.4.对换5.定理1：任意一个排列经过一次对换后奇偶性相反结论：相邻元素对换一次奇偶相反例：排列32514排列23514t+t+1次相邻对换证明思路：结论：不相邻元素对换一次也奇偶相反5.定理2：n个数码（n>1)共有n!个n级排列，其中奇偶排列各占一半若将所有偶排列都施以对换（1,2），则q个偶排列全部变为奇排列，所以qp若将所有奇排列都施以对换（1,2），则p

4、个奇排列全部变为偶排列，所以pqp=q=n!/2.证明：n级排列的总数为：n(n-1)…1=n!设其中奇排列数为p个，偶排列数为q个。二、n阶行列式1.观察观察结果（1）每项都是位于不同行不同列的元素的乘积．三阶行列式（2）每项行标都是自然排列，列标为偶排列则该项符号为＋，否则为－=0=2=2=3=1=1类似地：2.n阶行列式的定义定义等于所有取自不同行不同列的元素的乘积（1）式的代数和。每一项（1）都按下列规则取符号：当为偶排列时，（1）带正号；反之，（1）带负号。这里是的一个排列，注1注2n阶行列式是由n!项组成，且正号项和负号项各占一半。注3

5、一阶行列式不要与绝对值记号相混淆;例计算行列式解例计算上三角行列式解思考：下三角行列式呢？例例证明对角行列式行排列列排列213(=1)132(=1)(=0)123(=2)312考察：n阶行列式的定义也可写成定理行标排列列标排列证明思路总结n阶行列式的定义推论例用行列式定义计算例选择i和k，使成为5阶行列式中一个带负号的项解其列标所构成的排列为：i52k3若取i=1，k＝4，故i=4，k=1时该项带负号。可将给定的项改为行标按自然顺序，即则(15243)=4，是偶排列，该项则带正号，对换1，4的位置，则45213是奇排列。整节回顾1、二、三阶行列式和它

6、们的计算对角线法则＋－＋－2、n级排列、逆序、逆序数的概念32514逆序，逆序数的计算奇排列、偶排列的概念3、什么是对换？定理1：任意一个排列经过一次对换后奇偶性相反定理2：一个n级排列有n!种情况，其中奇偶各半4、n阶行列式的定义结论：三角形行列式的值等于主对角线上的元素的乘积课堂练习