《等差数列的性质》进阶练习（二）

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1、《等差数列的性质》进阶练习一、选择题.等差数列{}中，，那么方程（）的根的情况（　　）.没有实根.两个相等实根.两个不等实根.无法判断.首项为正数的等差数列{}满足，则前项和中最大项为（　　）.设等差数列{}的前项和为，且满足＞，＜，则中最大的项为（　　）....二、填空题.若数列{}的前项和为，则下列四个命题：①若数列{}是递增数列，则数列{}也是递增数列；②数列{}是递增数列的充要条件是数列{}的各项均为正数；③若{}是等差数列（公差≠），则•…的充要条件是•…；④若{}是等比数列，则•…（≥，∈）的充要条件是．其中，正确命题的序号是．三、解答题.设数列{}满足（λ

2、）（λ∈，∈*）；等比数列{}的首项为，公比为（为正整数），且满足是与的等差中项．（）求数列{}的通项公式；（）试确定λ的值，使得数列{}为等差数列；（）当{}为等差数列时，对每个正整数，在与之间插入个，得到一个新数列{}．设是数列{}的前项和，试求满足的所有正整数．参考答案.         .         .         .  ④       .  解：（）由题意，则，解得或，由于为正整数，则，又，∴；（）由数列{}为等差数列，数列{}满足（λ）（λ∈，∈*）；分别代入，，，又，得λλ（λ），得λ，而当λ时，，由（常数）知此时数列{}为等差数列，故λ．（）由

3、（），（），知，，由题意知，，，，，，…，则当时，≠，不合题意，当时，，适合题意．当≥时，若，则≠一定不适合题意，从而必是数列{}中的某一项，则……………，（…）（…）×（）（），又×，∴×，即，∴，∵为奇数，（）为偶数，∴上式无解．即当≥时，≠，综上知，满足题意的正整数只有．       .  解：等差数列{}中，，即有，则，即，即有，方程（）即为，判别式为＜，故方程没有实根．故选．运用等差数列的性质，即有，代入方程，求出判别式，即可判断根的情况．本题考查等差数列的性质，同时考查二次方程的实根的分布，属于基础题．.  解：∵等差数列{}中，∴公差，∴（）×（），令≥可

4、得≤，∴等差数列{}的前项为正数，从第项开始为负，∴达到最大值的是．故选：．由题意易得数列的公差，进而可得通项公式，从而数列{}的前项为正数，从第项开始为负，即可可得结论．本题考查等差数列的前项和及其最值，得出数列的正负变化是解决问题的关键，属基础题．.  解：由题意显然公差＜，∵（）＞，∴＞，则＞；同理由＜可得＜，∴＜，结合＞可得＞，∴≤时，最大，而最小，∴最大．故选：．由等差数列的性质和求和公式易得＞且＜，可得≤时，最大，而最小，故最大．本题考查了等差数列的性质，考查了等差数列的前项和，属中档题．.  解：数列{}的前项和为，故…若数列{}是递增数列，而数列{}不一

5、定是递增数列，如数列，，，，，…故①不正确；数列{}是递增数列，不能推出数列{}各项为正如：，，，，，…故②不正确；若数列{}是等差数列（公差≠），则×××…×由不能推出×××…×，例如，，，…故③不正确；若数列{}是等比数列，由×××…×，≥，∈能推出公比则，反过来明显成立，故④正确．故答案为：④．对四个命题进行分析，即可得出结论．本题考查等差数列的性质，考查学生分析解决问题的能力，比较综合．.  （）运用等差数列的性质和等比数列的通项公式，即可求出公比，得到通项公式；（）由条件结合等差数列的性质，得到方程，解出λ，检验即可；（）由（），（），知，，由已知写出，，，，

6、，…，讨论，，≥，求出，，列出方程，整理，并讨论方程的解，从而得到结论．本题考查等差数列、等比数列的通项和求和，考查数列的求和方法：分组求和，同时考查逻辑推理能力，属于综合题．