立体几何模块解题法

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1、授课教师：陆爱梅课件制作：陆爱梅东昌中学多媒体教学开放周立体几何中的模块式解题法αAoBCA’ABC1B1A1DD1C命题：如图，平面α的斜线OA与α内的两边所夹的角相等，则OA在α上的射影是∠BOC的平分线例1：已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是菱形，且∠C1CB＝∠C1CD＝∠BCD⑴求证：C1C⊥BD⑵假定CD=2，CC1=，求二面角C1-BD-C的大小．C1B1DACBA1D1略证：连接AC，过C1作底面的垂线C1O，∵∠C1CB＝∠C1CD∴O点在∠BCA的平分线AC上O又∵菱形对角线BD⊥AC且C1O⊥底面ABCDBD⊥CC1二面角的平面角的作法：1、定义

2、法根据定义作出来2、垂面法作与棱垂直的平面与两半平面的交线得到lγABO12lOABAOlD3、三垂线定理法借助三垂线定理或其逆定理作出来4、面积射影法AABCS’SBADCABDC三垂线定理作二面角的平面角pEOABlEOEOABDCGFOEBADCO三垂线定理作二面角的平面角的简易法：γ垂面法求二面角A-BD-C已知面ABC⊥面BDC∴由面面垂直的性质定理只需过A作AO⊥BC，则AO⊥面BDC然后再根根据三垂线定理作出二面角的平面角这种方法就叫γ垂面法。也就是说：欲求二面角α-L-β的平面角可先找出与其中一个面垂直的γ平面αβLγ然后过另一平面与γ的交线上的一点M，在γ

3、内作两平面的交线的垂线MO，然后过垂足O作棱L的垂线OE，连接ME,则∠MEO即为所求二面角的平面角。MOEB1C1ABA1C例1已知斜三棱柱ABC-A1B1C1的侧面AA1C1C与底面ABC垂直，∠ABC=，BC=2，AC=，且AA1⊥A1C，AA1=A1C⑴求侧棱AA1与底面ABC所成角的大小⑵求侧面A1ABB1与底面ABC所成二面角的大小分析要求侧棱AA1和底面所成角必须要找到它在底面上的射影。∵侧面AA1C1C与底面ABC垂直，∴自顶点A1向底面作垂线，垂足应落在AC上。D分析要求侧棱AA1和底面所成角必须要找到它在底面上的射影。∵侧面AA1C1C与底面ABC垂直，∴自顶点A1向底

4、面作垂线，垂足应落在AC上。⑴解：如图，作A1D⊥AC，D为垂足，则A1D⊥面ABC，∴∠A1AD即为所求角。∵AA1⊥A1C，且AA1=A1C∴∠A1AD=450B1C1ABA1CE⑵略解2由⑴可知A1D⊥面ABC，过D点作DE⊥AB，垂足为E,连接A1E由三垂线定理知:∠A1ED即为所求二面角的平面角。∵AA1=A1C∴D是的AC中点又∵AB⊥BC且BC=2，AC=∴DE∥BC，DE=1，A1D=∴tag∠A1ED=∠A1ED=600D如图，已知A1B1C1-ABC是正三棱柱，D是AC中点例2：⑴证明：AB1∥平面DBC1⑵假设AB1⊥BC1，求以BC1为棱，DBC1与CBC1为面的二

5、面角α的度数。AA1B1C1CDB分析：要证线面平行先证线线平行解：连接B1C交BC1于E，连接DEE则E为B1C的中点，且DE为△ABC的中位线∴DE∥AB1∩DE平面DBCAB1∥平面DBC1B1C1CDBAA1⑵假设AB1⊥BC1，求以BC1为棱，DBC1与CBC1为面的二面角的度数。∵A1B1C1-ABC是正三棱柱∴面ABC⊥面BB1C1C∴过D点作DF⊥BC，垂足为FF∴DF⊥面BB1C1CE∵AB1⊥BC1DE∥AB1DE⊥BC1∴连接EF，则EF⊥BC1∴∠DEF就是所求二面角的平面角设AB=a，FC=取ＢＣ中点Ｇ，连接ＥＧ，则ＥＧ⊥ＢＣＧEFBCＧ解：∴在Rt△BEF中，E

6、F2=GF．BF=a2∴EF=∴tag∠DEF=1DF=∴∠DEF=450?已知直二面角-l-，A,B，线段AB=2a，AB与成45º的角，与成30º角，过A、B两点分别作棱l的垂线AC、BD，求二面角C-AB-D的余弦值ACBDHFL略解：则∠HFD即为所求二面角的平面角∵∠BAD=450,AB=2a∴DF=aF点为AB的中点,FB=a又∵∠ABC=300∴HF=a∴cos∠HFD==已知四棱锥P-ABCD的底面是边长a为的菱形，∠ABC＝600，PC⊥平面ABCD，PC=a,E是PA的中点，求二面角A-BE-D的大小PEDACBOH略解：连接AC交BD于点O,连接O

7、E过O作OH垂直BE于H,连接AH则AO⊥平面BDE?则∠AHO为二面角A-BE-D的平面角∵AB=a,∠ABC＝600∴AO=a∵在Rt△EOB中，aEO=OB=aBE=aOH=a∴tg∠AHO=BEOH按此继续小结本节课主要讲了如何利用模块求二面角的平面角EBADCO找垂平面作交线的垂线过垂足作棱的垂线关键是利用模块本节课到此结束再见2001年10月