函数极限的定义(II)

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1、第三节函数极限的定义一、自变量的变化过程二、自变量趋向无穷大时函数的极限三、自变量趋向有限值时函数的极限四、函数极限的性质一、自变量的变化过程播放二、自变量趋向无穷大时函数的极限问题:如何用数学语言刻划函数“无限接近”.通过上面演示实验的观察:问题:1.x+时f(x)的极限定义设f(x)在x>a(a>0)有定义,对任意给定的正数,总存在正数X,当x>X时，恒有

2、f(x)A

3、<，则称常数A是函数f(x)当x+时的极限.几何意义例1证2.x时f(x)的极限几何意义例2证3.x时f(x)的极限定理：几何意义例3

4、证4.水平渐近线(horizontalasymptote)例如：三、自变量趋向有限值时函数的极限问题:1.xx0时f(x)的极限定义若存在常数A,对任意给定的正数>0,总存在正数>0,只要f的定义域中的点x满足0<

5、xx0

6、<时，恒有

7、f(x)A

8、<成立，则称常数A是函数f(x)当xx0时的极限,简称A是f(x)在x0处的极限.几何意义说明例1证例2证例3证函数在点x=1处没有定义.例4证用定义证明的过程：1.把

9、f(x)A

10、化简为

11、f(x)A

12、k

13、xx0

14、;2.要

15、f(x)A

16、,只要k

17、

18、xx0

19、;4.验证.2.单侧极限:例如,左极限定义右极限定义定理由此有左右极限存在但不相等,例证在分段点处的极限应考察两侧应分别研究左右极限的一些情形：1、分段函数在分段点处的极限.2、有些函数在特殊点处的极限.例如：四、函数极限的性质定理1若极限(或)存在，则极限是惟一的.1.极限的惟一性证不妨设AB,由定义,对故极限若存在则必唯一.定理2定理22.有极限的函数的局部有界性定理3(局部保号性)3.极限的局部保号性定理3(局部保号性)3.极限的局部保号性定理3推论(不等式性质)4.函数极限的归并性(函数极限与数列极限

20、的关系)定义定理证定理例如,函数极限与数列极限的关系函数极限存在的充要条件是它的任何子列的极限都存在,且相等.判别极限不存在的一个命题例1证二者不相等,五、小结函数极限的统一定义(见下表)过程时刻从此时刻以后过程时刻从此时刻以后思考题思考题解答左极限存在,右极限存在,不存在.一、填空题:练习题练习题答案二、自变量趋向无穷大时函数的极限二、自变量趋向无穷大时函数的极限二、自变量趋向无穷大时函数的极限二、自变量趋向无穷大时函数的极限二、自变量趋向无穷大时函数的极限二、自变量趋向无穷大时函数的极限二、自变量趋向无穷大时函数的极限二、自

21、变量趋向无穷大时函数的极限二、自变量趋向无穷大时函数的极限定理(保序性)推论