【7A版】竞赛专题—著名不等式汇集

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1、【MeiWei81-优质实用版文档】竞赛中著名不等式汇集作者阿道夫（配以典型的例题）20XX.2.28在数学领域里，不等式知识占有广阔的天地。不等式常以其优美的结构、严谨的解法、恢弘的气势、广阔的知识容纳性、深层的数学背景等，而被众多竞赛大家所看重，也被莘莘学子所追崇。以下根据自己在前些年教学中的总结并引学了其他贤人的智慧汇集如下，希望对同学们有所帮助。1.平均不等式（均值不等式）2.柯西不等式（柯西—许瓦兹不等式或柯西—布尼雅可夫斯基不等式）3.排序不等式（排序原理）4.契比雪夫不等式5.贝努利不等式6.琴生不等式7.含有绝对值的不等式8.舒尔不等式9.一些几何不等式佩多不等式外森比

2、克不等式三角形内角的嵌入不等式10.内斯比特不等式11．Holder不等式.12.闵可夫斯基（）不等式1.平均不等式（均值不等式）设是个正数，令（调和平均值），（几何平均值），（算术平均值），（平方平均值），则有（）(调和平均几何平均不等式)；（）(几何平均算术平均不等式)；（）（算术平均平方平均不等式）.这些不等式又统称为均值不等式.等号成立的充要条件是.（）(1)【MeiWei81-优质实用版文档】【MeiWei81-优质实用版文档】,由3的推论2知（1）式成立，故（）成立.等号成立的充要条件是，即.（）(2),所以由3的推论2知（2）成立，故（）成立.显然等号成立的充要条件是.（

3、）令，再令，，则.∴=0,.等号成立的充要条件是，即.另：G,Q证明还可以借助2维形式加以证明练习：1）.设的最小值为        .　　2）.设A、B、C、D为空间中的四点，求证：【MeiWei81-优质实用版文档】【MeiWei81-优质实用版文档】　　证明：如图，取BD的中点E，连结AE和EC，则在△ABD和△BCD中，根据中线的性质，有　　3）.（20XX年日本数学奥林匹克）若正实数满足，求证.证∵，由均值不等式，得，∴.同理可得将上述3个不等式相加，得.4）.（20XX年中国香港数学集训队试题）证明对于任意正实数均有解：上述3个式子相加，得，所以2.柯西不等式（柯西—许瓦兹

4、不等式或柯西—布尼雅可夫斯基不等式）　　对任意两组实数，，…，；，，…，，有【MeiWei81-优质实用版文档】【MeiWei81-优质实用版文档】　　，其中等号当且仅当时成立。　　柯西不等式经常用到的几个特例（下面出现的，…，；，…，都表示实数）是：　　（1），，则　　（2）　　（3）柯西不等式在求某些函数最值中和证明某些不等式时是经常使用的理论根据，我们学习中应给予极大的重视。关键在于使用一些方法构造符合柯西不等式的形式及条件，继而达到使用柯西不等式证明有关的不等式。练习：1）.①设、、为正数且各不相等。求证：又、、各不相等，故等号不能成立∴原不等式成立。巧拆常数②、为非负数，+=

5、1，求证：。（∵+=1）重新安排某些项的次序③若>>，求证：∴结构的改变从而达到使用柯西不等式④已知求证：【MeiWei81-优质实用版文档】【MeiWei81-优质实用版文档】添项2）.设已知是实数，满足试确定的最大值.证由算术平方平均不等式得：，从而有，，解之得.当时，，因此的最大值为.3）.试确定的所有实数解.　　解：由　　取“=”号.　　　　所以，原方程组有唯一实数解　　4）.3.排序不等式设，，是的一个全排列，则有（倒序和）（乱序和），（顺序和）等号全成立的充要条件是或.证：我们先用数学归纳法证明.【MeiWei81-优质实用版文档】【MeiWei81-优质实用版文档】（1）

6、当时，因为，所以时，（1）式成立。假设对于时（1）式成立，即，其中是1,2,的一个排列，那么对于，设是1,2，的一个全排列，则当时，由归纳假设知，=，所以（1）式成立当时，必存在，，使得，则，即时（1）式成立。由归纳法原理知对于，（1）式成立.再证.事实上，因为，由（1）知，对于1,2，的一个排列，有，∴.再证等号成立的条件，充分性是显然的.我们用反证法证明必要性.若结论不成立，即在=（2）的条件下，不全相等，也不全相等，则存在，，使得，.不妨设，则有，，从而有，所以>【MeiWei81-优质实用版文档】【MeiWei81-优质实用版文档】(3)(3)与（2）矛盾.排序不等式表明对于两

7、组实数，其顺序积和最大，倒序积和最小，乱序积和居中，顺序积和与倒序积和相等的充要条件是这两组实数中有一组全相等。这个不等式在不等式证明中占有重要地位，它使不少困难问题迎刃而解。推论1若对于，有，则，等号成立的条件是.证由对称性，不妨设，则.有排序不等式，有.等号成立的条件是或，即.推论2若对于，，且，则.等号成立的充要条件是.证令则，这里均为正实数，由推论1知，.等号成立的充要条件是，即.练习：1）.设是正数的一个排列，求证【思路分析】应注意到