平行四边形和特殊的平行四边形

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1、平行四边形的性质与判定一、总结平行四边形的性质与判定原理：性质原理判定原理边1、两组对边分别平行；2、两组对边分别相等；1、两组对边分别平行的四边形是平行四边形；2、两组对边分别相等的四边形是平行四边形；3、一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；角3、对角相等；邻角互补；4、两组对角分别相等的四边形是平行四边形；线4、对角线互相平分。5、对角线互相平分的四边形是平行四边形。【问题1】我们学习平行四边形的性质是从哪几个方面来研究的？从“边、角、线”三个方面，其中“线”指的是对角线。【问题2】判定一个四边形是平行四边形必须有几个条件？必须具备两个条件；注意判定原理5“对角

2、线互相平分”也是两个等量。图P-01二、总结与平行四边形相关的性质：（注意，以下性质只可用来指导解证题，在填空、选择题中可直接使用，但在解答题中不可直接当作原理使用）【平行四边形对角线相关性质】①平行四边形每一条对角线将其分成两个全等的三角形；平行四边形的对角线将其分成四个面积相等的小三角形；相对的两个小三角形全等；相邻两个三角形的周长之差就等于边长之差。如图P-01，点O是对角线AC、BD交点，则ABO、ADO、CDO、CBO的面积相等。依据是每相邻两个三角形都是“等底同高”。〖练习〗⒈如图P-01，点O是对角线AC、BD交点，若S⊿ABO=2，则S⊿ABD=；SAB

3、CD=⒉如图P-01，点O是对角线AC、BD交点，则图中共有对全等三角形。⒊如图P-01，已知，ABCD的周长为28，点O是对角线AC、BD交点，ABO的周长比CBO的周长多4，则AB=，BC=图P-02⒋如图P-01，点O是对角线AC、BD交点，已知AB=8，BC=6，⊿ABO的周长为17，则CBO的周长=②在平行四边形内，过对角线交点且两端点在平行四边形边上的线段一定被对角线交点平分；如图P-02，点O是对角线AC、BD交点，线段EF过点O，则OE=OF；证AEO≌CFO即可〖练习〗⒈如图P-02，ABCD中，EF过对角线交点O，若AB=5，BC=4，EO=3，则四

4、边形CDEF的周长为图P-03⒉如图P-03，ABCD中有圆O，请你画一条直线，将此平行四边形及圆O的面积分成相等的两部分。③若设平行四边形两条对角线长分别为2和2(>)，则此平行四边形每条边长的取值范围为<<〖练习〗⒈如图P-01，若AC=8，BD=12，则AB的取值范围是⒉三角形一边上的中线的取值范围为：大于另两边之差，小于另两边之和。图P-04如图P-04，已知D为ABC中BC边上的中点，AB=5，AC=7，求AD的取值范围。〖提示〗延长AD至E，使DE=AD，连结BE、EC，易证得ABEC；记住此法：倍长中线法，是常用的辅助线作法【四边形四边中点连线性质】④顺次

5、连结四边形四边中点所得的四边形是平行四边形；图P-05如图P-05，连结AC，由三角形中位线原理可得：HG、EF都平行且等于AC，∴HG平行且等于EF，得平行四边形注：此性质在学习了菱形、矩形后还有扩充。【等腰三角形与平行线相关性质】⑤从等腰三角形底边上任一点做两腰的平行线，图P-06可得一平行四边形和两个小的等腰三角形，且平行四边形的周长等于两腰长之和；如图P-06，AB=AC，DE∥AC，DF∥AB易得∠1=∠B，∠2=∠C，而∠B=∠C，∴∠1=∠C，∠2=∠B〖练习〗如图P-06，ABC中，AB=AC=6，D是BC上一点，DE∥AC，DF∥AB，求四边形AFDE

6、的周长。图P-07⑥一条角平分线与平行线相交时常会出现等腰三角形；如图P-07，AB∥CD，∠1=∠2，则易证∠1=∠3，∴∠2=∠3，得等腰AED〖练习〗⒈如图P-08，在ABCD中，AB=7，AD=3，∠DAB的的平分线交CD于E，交BC的延长线图P-08于F，求CF长⒉如图P-09，ABC中，∠ABC与∠ACB的角图P-09平分线交于点F，DE∥BC且过点F求证：DE=BD+EC【中位线相关性质】⑦三角形中位线原理：三角形的中位线平行且等于第三边的一半；三角形中位线原理推论：过三角形一边中点且平行另一边的直线必平分第三边。图P-10如图P-10，D、E分别为AB、

7、AC中点，则有：DE∥BC，DE=BC；若已知D为AB中点，DE∥BC，则有：AE=CE〖练习〗证明三角形中位线原理推论已知：求证：证明：⑧三角形的三条中位线将原三角形分成的四个小三角形的全等，周长都等于原三角形周长的一半，面积都等于原三角形面积的1/4。图P-11如图P-11，D、E、F分别是ABC三边中点，则图中四个小三角形都全等，且面积都等于ABC面积的1/4；周长都等于ABC周长的1/2；图中共有3个平行四边形。〖练习〗如图P-11，D、E、F分别是ABC三边中点，AB=6，AC=7，BC=10，则DEF的周长为图P-12三、典型