数学概念的理解与教学

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1、数学概念的理解与教学有效教学的关键理解数学，理解学生，理解教学。“三个理解”的内涵：掌握丰富的数学学科知识；初中数学课程结构体系、教学重点的知识；学生数学学习难点的知识；关于重点知识的教学解释的知识；关于评估学生的知识理解水平的知识；等。特别强调“内容所反映的数学思想方法”的理解，决定了教学所能达到的水平和效果。当前概念教学的问题不重视章节起始课的教学，没有把本章节要解决的主要问题、基本过程和主要思想方法等纳入教学任务中；概念教学走过场，常常采用“一个定义，三项注意”的方式，在概念的背景引入上着墨不够，没有给学生提供充分的概括本质特征的机会，认为让学生多做几道题目更实惠．有些老师不知如何教概念

2、．教概念的意义李邦河院士：数学根本上是玩概念的，不是玩技巧．技巧不足道也！以解题教学代替概念教学的做法严重偏离了数学的正轨，必须纠正．否则，学生在数学上耗费大量时间、精力，结果可能是对数学的内容、方法和意义知之甚少，“数学育人”终将落空．概念教学的核心概念教学的核心是概括：将凝结在数学概念中的数学家的思维打开，以典型丰富的实例为载体，引导学生展开观察、分析各事例的属性、抽象概括共同本质属性，归纳得出数学概念。概念教学的基本环节典型丰富的具体例证——属性的分析、比较、综合；概括共同本质特征得到概念的本质属性；下定义（准确的数学语言描述）；概念的辨析——以实例（正例、反例）为载体分析关键词的含义；

3、用概念作判断的具体事例——形成用概念作判断的具体步骤；概念的“精致”——建立与相关概念的联系。例1代数的核心概念、思想方法代数——以符号(不定元)代表数；代数学的根源在于代数运算；代数运算有一系列普遍成立的运算律：交换律、结合律、分配律、指数法则；模式、关系、函数：“找规律”，用代数符号表征和理解数学结构、数量关系、变化规律。代数学的基本思想：有系统、有效力地运用数系的加、乘和指数运算的运算律，去解决各种各样的代数问题：各种式（整式、分式、根式等）的运算——用运算律进行“等价变换”；作为数及其运算的推广。方程——未知数、已知数之间的特定代数关系；解方程——由代数方程式确定其中的“未知数”的值；

4、解方程的基本原理：运算律对任何数都成立（通性），所以对“未知数”也成立、可用。有系统地用运算律化简所给的方程，从而确定其中的未知数——化未知为已知。一元一次方程是基础，其它都用消元、降次转化为一元一次方程。方程问题，从元的增加、次数的增加两个方向，依照由简到繁、由易到难顺次展开。从代数式（符号代表数）、方程（符号代表未知数）到函数（符号代表变数）是一个飞跃，这是看问题角度的根本变化——从变化过程中考察规律，函数是研究变化规律的。一次函数y=kx+b的变化规律由谁反映——不仅明确x，y的意义，而且明确k，b的意义——变化规律由k，b决定。其他函数也类似。例2乘法公式的理解及教学设计多项式运算就是

5、含有字母符号的算式之间的运算（字母代表数，数满足运算律，所以字母也满足运算律）；两个多项式的乘积就是用分配律把它归于单项式的乘积之和来计算，单项式的乘积是用乘法的交换律、结合律和指数法则来计算——运算法则；乘法公式是一类特殊的多项式乘法问题，是一个模式。乘法公式蕴含的思想方法乘法公式是研究一般多项式乘法基础上对“特例”的考察，寻找一个模式：在(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd中，字母a，b，c，d有某些特殊关系时的特殊形式，即（1）a=c，b=－d时有平方差公式；（2）a=c，b=d时有完全平方和公式；等。从一般到特殊，归纳的思想，“考察特例”是数学研究的“基本套路”。教学过程设计1

6、．复习与引入问题1前面我们学习了单项式、多项式的乘法，你能说说运算法则吗？这些运算的依据是什么？设计意图：回顾运算法则，强化“用运算律计算”的意识。先行组织者：(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd中，a，b，c，d可以是数、式或别的什么。数学中，经常要通过考察特殊情况来获得对问题的进一步认识，例如在两条直线的位置关系中，我们特别研究了平行、垂直两种特殊的位置关系，得到了一些有用的结论。类似的，在多项式乘法中，也有一些特殊情形值得研究。2．公式的探究问题2(x+b)(x+d)可以利用公式直接写出结果。它是(a+b)(c+d)在a=c=x时的特例。在(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+

7、bd中，你认为还有哪些特殊情形？你能得到什么？设计意图：通过“先行组织者”，渗透从一般到特殊，考察特例，深入认识数学对象的方法；在让学生自主活动之前，先指出已有特例(x+b)(x+d)，使学生有一个类比对象，明确思考方向。问题3请你用自己的语言表述平方差公式、完全平方公式。设计意图：帮助学生理解公式。3．例题本环节主要目的是通过变式（字母a，b取数、式等各种变形），让学生体会公式在“形式化运算”中