数学人教版九年级上册实际问题与一元二次方程 ---几何图形问题

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1、实际问题与一元二次方程---几何图形问题教学内容：本节课主要学习根据常见的几何图形面积与面积之间的关系建立一元二次方程的数学模型并解决这类几何图形问题。教学目标：1.知识技能：（1）.能根据具体问题中的数量关系，列出一元二次方程，体会方程是刻画现实世界的一个有效的数学模型。（2）.能根据具体问题的实际意义，检验结果是否合理。（3）.在探究问题的过程中，掌握实际问题的类型：平移转化、裁边分割问题。2.数学思考：经历将实际问题抽象为代数问题的过程，探索问题中的数量关系，并能运用一元二次方程对之进行描述。3.解决问题：通过解

2、决矩形(平行四边形、梯形等)地面与道路规划的实际问题，学会将实际应用问题转化为数学问题，体验解决问题策略的多样性，发展实践应用意识。4.情感态度：通过用一元二次方程解决身边的问题，体会数学知识应用的价值，提高学生学习数学的兴趣，了解数学对促进社会进步和发展人类理性精神的作用。重、难点：重点：列一元二次方程解决有关平移转化、裁边分割问题。难点：如何寻找更加简单的等量关系来建立平移转化、裁边分割问题的方程。教学准备教师准备：制作课件，精选习题。学生准备：复习有关知识，预习本节课内容，作图常用工具。教学过程一、出示课题同学们

3、，今天我将和大家一起来研究实际问题与一元二次方程中的几何图形问题。教师演示课件，并同时板书课题。【设计意图】课堂伊始，并没有设计温故知新环节，因为在这节课之前，学生们已经掌握了一些简单的几何图形的面积公式。二、探索新知【问题情境】如图，在长为30米、宽为20米的矩形地面上修建两条同样宽的道路，余下部分作为耕地，若耕地面积需要551平方米，求修建的路宽应为多少米？分析：要求修建的路宽，就要设修建的路宽应为x米，根据题意可知：矩形地面-所修路面积=耕地面积，依此列出等量关系解方程即可．解：设修建的路宽应为x米，则横向的路面

4、面积为平方米，纵向的路面面积为平方米，道路面积为平方米。列方程，得，整理，得，解方程，得。答：修建的路宽应为米。【活动方略】学生按照分析部分的提示列出方程进行解答，老师请学生上台板演解题过程，并讲解解题过程和应注意问题（道路重叠部分的小正方形、方程的两个根的处理方法）．在活动中，教师应注意：（1）学生对几何图形的分析能力；（2）解答一元二次方程的能力；（3）学生回答问题时的几何语言表达是否准确。【设计意图】使学生通过上台板演及讲解，加深对问题的理解，同时增强解题自信感、丰富解题经验。【思考】是否还有其他方法可以更简单地

5、解决上面的问题呢？学生通过观察图形，将竖直方向的路向左或向右平移，将水平方向的路向上或向下平移，均可以将分散的小块转化为一个整体，从而列出方程（30-x）(20-x)=551教师紧接着提问：如果条件不变，图形如下，此时又该如何列方程呢？【设计意图】让学生通过观察图形借助平移，体验解决问题策略的多样性，从而实现一题多解的目的。三、当堂检测(一).口答竞赛---只列式不计算1.某小区规划在一个长30米、宽20米的长方形空地ABCD上修建三条同样宽的通道，使其中两条与AB边平行，另一条与AD边平行，其余部分种花草。要使每一块

6、花草的面积都为78平方米,通道的宽应设计成多少米？【活动方略】学生独立思考、上讲台展示解题的思路及方程．解：设通道的宽应设计成x米？此题的等量关系可以为：长方形空地的面积-(水平方向矩形的面积+两条竖直方向矩形的面积-两个重合的小正方形的面积)=花草的总面积3020-(30x+220x-2x2)=786或者：通过平移，如右图所示，花草地面的长花草地面的宽=花草的总面积(30-2x)(20-x)=786【设计意图】再次让学生感受平移转化的思想能更简单地解决问题。2.为响应市委市政府提出的建设“绿色城市”的号召，某市某单位

7、准备将院内一块长为30米、宽为20米的长方形空地建成一个矩形花园。要求在花园中修两条纵向平行和一条横向弯折的小道，余下部分种花草，如图所示，若种植花草的面积需要532平方米，那么小道进出口的宽度应为多少米？（注：所有小道进出口的宽度相等，且每段小道均为平行四边形）【活动方略】学生同桌讨论、上讲台展示解题的思路及方程．【设计意图】让学生通过观察图形发现，第2题图与第1题图的区别就在于水平方向上的两个平行四边形，根据等底等高的平行四边形与矩形的面积相等，即可以将问题转化为第1题的形式，达到解决问题的目的。3.如图,要设计一

8、个等腰梯形的花坛,花坛上底长100米,下底长180米,上下底相距80米.在两腰中点连线处有一条横向甬道,上下底之间有两条纵向甬道,各甬道的宽度相等。甬道的面积是梯形面积的六分之一。甬道的宽应是多少米？（只列式不计算）【活动方略】学生小组讨论，推荐两名代表上台，一人负责用投影仪展示解题思路，一人负责讲解思路及列方程。教师巡视、指导。