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1、第5卷第2期潍坊高等职业教育Vo.l5No.22009年6月WeifangHigherVocationalEducationJun.2009逻辑斯蒂模型及其应用吉蕴(潍坊职业学院,山东潍坊261031)摘要:逻辑斯蒂方程是一种可分离变量的微分方程,其数学模型属于增长的s型曲线模型,利用它可以描述某一研究对象的增长过程.本文系统阐述逻辑斯蒂模型的来源、发展及其演变,分析其生态意义,并阐述该模型在实践中的应用.关键词:逻辑斯蒂方程;数学模型;微分方程;应用中图分类号:O175文献标识码:A在自然界和社会上存在大量的s型变化的现象,逻辑1limN(t)=l
2、im斯蒂Logistic模型几乎是描述s型增长的唯一数学模型.t#t#K+(1-K)e-rtrNr0这是一条连续的、单调递增的、以参数k为上渐近线的s1型曲线,其变化速度一开始增长较慢,中间段增长速度加=tlim#K1K+(-)∀0快,以后增长速度下降并且趋于稳定.利用它可以表征种rN0r群的数量动态,描述某一研究对象的增长过程,也可作为r=K其它复杂模型的理论基础如Lotka-Volterra两种群竞争2dNdNdNdN模型.可以看出逻辑斯蒂方程不管在自然科学领域还是在=r-2KN=(r-2KN)2dtdtdtdt社会科学中都具有非常广泛的用途.=(r-2K
3、N)(r-2KN)(r-KN)N1逻辑斯蒂模型的产生与发展说明:在提出逻辑斯蒂模型之前,最早给出种群生态学经典r(1)当t#时,N(t),结论是不管其初值如何,数学模型是Malthus模型,由英国统计学家Malthus(1766K-1834)在1798年人口原理!一书中,提出了闻名于世人口总数最终将趋向于极限值r/K;的Malthus人口模型.设t0时刻的人口总数为N(t0),t时rdN2r(2)当0刻人口总数为N(t),则:KdtKdN0,说明N(t)是时间的单调递增函数.=rNdt2(1)rdNr(3)当N<时,>0,
4、曲线上凹,当N>时,2K22KN(t0)=N0dt2但是这个模型有很大的局限性:只考虑出生率和死亡dN<0,曲线下凹.2dt率,而没有考虑环境因素.实际上人类所生存的环境中资根据微积分!中∃函数单调性及凹凸性的判定定源并不是无限的,因而人口的增长也不可能是无限的,实理%,可以描绘出N(t)的曲线.如图1所示,这种s形曲线践证明Malthus人口模型只符合人口的过去而不能用来预称为逻辑斯蒂曲线.由曲线的形状及函数一阶、二阶导数测未来人口总数.比利时数学家P∀F∀Verhulst对Mal的特点可以得出以下结论:在人口总数达到极限值的一半thus模型中关于人口增长率为常
5、数这一假设修改为(即r/2K)前,是加速增长时期,过这一点以后,增长的速dN2=rN-KNdt(2)度逐渐减小,并且迟早会达到零,这是减速增长时期.N(t0)=N0其中r,K称为生命系数(VitalCoefficients).(2)式就是最早的逻辑斯蒂模型.1解之得:N(t)=(3)K1K-rt+(-)erN0r分析如下:图1收稿日期:2009-05-07作者简介:吉蕴(1966),女,山东潍坊人,潍坊职业学院副教授。主要研究方向:数学教学理论与国民经济学。∀63∀潍坊高等职业教育2009年6月2逻辑斯蒂模型的生态意义(4)减速期,个体数超过K/2以后,
6、密度增长渐变慢;(5)在种群生态学中,种群的增长是一个复杂的问题。由饱和期,种群个数达到极限K而饱和.于种群的增长受到诸多因素的影响,如环境条件、营养状3逻辑斯蒂模型在实践中的应用态、出生率、死亡率、个体基数及世代特征等.1838年,数3.1在物种竞争中的应用学家Verhulst又把模型改进到有限环境中,导出新的方如果有物种甲和物种乙共生活在同一个环境中,其环程.Verhulst称之为逻辑斯蒂方程,为拉丁文Logistic的音境资源的负荷量对物种甲为K1,对种物乙为K2,但因两个译.它有某种逻辑推理的含义,是一个说理模型.模型中各物种共同生活在一起发生竞争.每当出现
7、物种乙时,对物参数的生态意义:K为环境容纳量,它表示每个个体在没种甲的生活空间产生影响,其影响系数为.相反,每当出有受到抑制作用时的最大增长率,N为当时种群的数量.现物种甲时便会对物种乙产生影响,其影响系数为.两Verhulst假设种群规律的相对增长率为:个物种的增长按逻辑斯蒂方程所描述.dNN物种甲在竞争中种群增长方程为:=r(1-)NdtK(4)dNK-(N+N)2112N(t)=N=r1N1[]00dtK1利用一阶微分方程的分离变量法,求出其解为物种乙在竞争中种群增长方程为:KN(t)=(5)dN2K2-(N2+N1)K-rt=r2N2[]1+(-
