试射法&差分法

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1、边值问题的数值解法----试射法和差分法摘要本文运用边值问题的两种解法，试射法和差分法，解二阶微分方程。以一个实例进行matlab编程实现，对这两种解法进行进一步的了解和比较。关键词：常微分方程边值问题，试射法，差分法一、问题分析对于二阶微分方程边界条件可分为三类：①②③（，）分别称为第一、二、三类边界条件。不同边界条件对用的微分方程求解问题分别称为第一、二、三边值问题。本文讨论第一边值问题。边值问题解的存在性不仅与方程有关，也与边界条件有关，所以我们始终假定边值问题有解，且解具有所需的光滑性。1.1试射法1、基本思想：将第一边值问题的求解转化为初值问题的求解。但初始条件无法确定，因此考虑用

2、一组参数逐步逼近，即考虑初值问题使其解满足。这样，对给定的允许误差，当或时，即可作为所求之近似解。2、实用方法选择：（1）根据对边值问题性质的分析及问题的实际背景，对提供一个初始估计值，例如可取然后解初值问题，得解，记。（2）取使满足即取，再解初值问题，得，记。若，则为所求解，否则进行下一步。（3）利用线性插值法由、求得，再取进行试射，得新解，记。若，则为所求解；否则令，，，重复此步计算过程，直至达到目的为止。1.2差分法1、基本思想：接编制问题的差分方法是一种常用方法，用差商代导数，将微分方程离散化为差分方程，然后用适当的方法求解。2、具体步骤：将求解区间分成等分，步长，分点称为节点，在内

3、节点上将导数，用差商表示在点列出方程代入上式整理得到近似方程其中，，。此外，由边界条件得将两式联立在一起恰好构成个方程、个未知量的线性方程组，称为边值问题的差分方程，其解称为边值问题的差分解，称为阶段误差。整理两式可得三对角方程组其中此方程组可用追赶法求解。一、算法实现及结果例题用有限差分法解例题2.1中的边值问题：2.1试射法利用RK方法计算二阶线性微分方程的边值问题，由微分方程知识可以知道，对于二阶微分方程可以化为一阶微分方程组，func1为第一个微分方程组第二个函数，func2为第二个微分方程组第二个函数，初始时刻为a，结束时为b，初始端点函数值为ya，末端点函数值yb，N为分成的区间

4、数目。用matlab实现算法的程序：function[x,y]=lsh(func1,func2,a,b,ya,yb,N)h=(b-a)/N;u(1,1)=ya;u(1,2)=0;v(1,1)=0;v(1,2)=1;fori=1:Nx(i,:)=a+(i-1)*h;K1=h*u(i,2);L1=h*feval(func1,x(i,:),u(i,1),u(i,2));K2=h*(u(i,2)+1/2*L1);L2=h*feval(func1,x(i,:)+1/2*h,u(i,1)+1/2*K1,u(i,2)+1/2*L1);K3=h*(u(i,2)+1/2*L2);L3=h*feval(func

5、1,x(i,:)+1/2*h,u(i,1)+1/2*K2,u(i,2)+1/2*L2);K4=h*(u(i,2)+L3);L4=h*feval(func1,x(i,:)+h,u(i,1)+K3,u(i,2)+L3);u(i+1,1)=u(i,1)+1/6*(K1+2*K2+2*K3+K4);u(i+1,2)=u(i,2)+1/6*(L1+2*L2+2*L3+L4);k1=h*v(i,2);l1=h*feval(func2,x(i,:),v(i,1),v(i,2));k2=h*(v(i,2)+1/2*l1);l2=h*feval(func2,x(i,:)+1/2*h,v(i,1)+1/2*k1

6、,v(i,2)+1/2*l1);k3=h*(v(i,2)+1/2*l2);l3=h*feval(func2,x(i,:)+1/2*h,v(i,1)+1/2*k2,v(i,2)+1/2*l2);k4=h*(v(i,2)+l3);l4=h*feval(func2,x(i,:)+h,v(i,1)+k3,v(i,2)+l3);v(i+1,1)=v(i,1)+1/6*(k1+2*k2+2*k3+k4);v(i+1,2)=v(i,2)+1/6*(l1+2*l2+2*l3+l4);enduvx(N+1,:)=x(N,:)+h;y(1,1)=ya;y(1,2)=(yb-u(N+1,1))/v(N+1,1);

7、当，时，计算结果如下表所示。表中列出的值逼近的值，逼近的值，且值逼近，表示逐点绝对误差。()1.01.0000000000.0000000001.0000000001.0000000000.0000000001.11.0089605750.0911798581.0926291641.092629298-0.1343477351.21.0324547200.1685117501.1870847071.18708