[第5讲] 函数迭代和函数方程（中）

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1、答案【例1】【解析】，所以一方面，另一方面，于是．，所以．，所以．，所以．，所以．而，从而．【变式】【解析】⑴由，知，故．由于，故，根据定理，存在、，使．记，那么由，知．此时，取，那么，即．⑵设桃子的总数有个时，被猴子吃掉一个并拿走一份后，剩下的桃子数目为，则．于是，从而；依题意，为整数，于是．因此，最小的．【例2】【解析】⑴解法1：，，……一般地，，于是，当时，；当时，．解法2：取，，则，于是．而，因此．⑵；7▎高一·第2讲·联赛班·教师版▎；；……因此猜测．用数学归纳法很容易证明．于是，当时，；当时，．⑶

2、显然，令，则，，…，．【点评】将与对比，将与对比，可以帮助记忆．另外，当时，或．【变式】【解析】⑴令，，则．容易验证，即．所以．⑵，令，容易验证．所以．【例3】【解析】⑴（首先先求的不动点）由，解得或．（其次取使满足不动点要求）取，（求出，进而算出）从而，算出．（求出，进而算出）于是，所以．7▎高一·第2讲·联赛班·教师版▎⑵由，解得．取，从而，算出．于是，所以．⑶由，解得或．取，则，算出．于是，所以．【点评】利用不动点寻找桥函数是求解迭代函数的重要方法，但有时也无法解决问题．例如对于例变式⑴，有惟一的不动点

3、，于是可以尝试桥函数；【变式】【解析】设，则由，解得或，取，则，从而．于是，因此．于是．【例4】【解析】⑴以代换已知表达式中的，得．将上式与已知条件联立消去得，验证可知是原方程的解．⑵已知为………①．首先希望能够通过适当的代换消去．所以在①中令，从而……②但是这样又引入，所以在①中令，则…③．从而由①、②、③，得．经检验，是原函数方程的解．⑶取，则………①．取，则，也即…②．7▎高一·第2讲·联赛班·教师版▎从而由①、②，得………③．取，，有………④，在③中，取，得…………⑤，由④、⑤解得或．代入③，有或．经

4、检验，只有是原函数方程的解．【点评】在代换时需要特别注意函数的定义域．这里的“检验”是解函数方程的一个组成部分，因为求时，首先假定了函数方程存在解，这样求出的只是满足必要性，也就是说，只要函数方程有解，求出的就是函数方程的解．如果方程无解，那么求出的并不是原函数方程的解．因此，我们必须检验充分性，有时所得的解显然满足原函数方程，就可以省略检验这一步骤了．【变式】【解析】⑴设，为式①，为式②．在②中，令，得…③，在②中，以代换，以代换，得…④．综合③、④，得…⑤式⑤在时成立，所以在时也成立．由①以及⑤，当时，．所

5、以…⑥从⑤、⑥中消去，得．⑵设题中条件为①，则令，得．设，，那么，，于是①式成为．若，则上式为，即对任意非零实数、，有．所以，其中为常数．于是对，所求的函数为，其中为常数．经检验，是欲求的函数．【例5】【解析】由⑵，取代入，得，所以．再取代入⑵中，又．现在利用⑶，由于，可知，而，故．因此，．同样，由，我们可以确定．7▎高一·第2讲·联赛班·教师版▎上述过程已经告诉了我们该如何解决问题．我们可以通过数学归纳法来证明对于所有的偶数，有．然后再利用⑶证明对于所有奇数，有．从而对一切都成立．【点评】通过赋特殊值，我们

6、得到了一些特定点上的函数值，而这些值往往“透漏”了函数的信息，帮助我们猜出函数的解析式，进而设法（如用数学归纳法）加以证实．【变式】【解析】⑴和例5相比，本题的条件放宽了．同上题，我们可以得到．但是已经不能由⑵得到了，因为⑵的条件是、必须互素．如果能够证明，那将是一个很重要的突破口．比如接着我们能得到，再利用⑶，有，于是立即可得，．事实上，我们可以通过数学归纳法给出的证明．下面证明这一关键之处．我们有……①，以及…………②由①和②两个不等式，有，故，而，即得．因此，对一切成立．⑵题设中所给的是一个不等式，而不是

7、方程，而且变元有三个，即，，．我们设法通过取一些特殊值来寻求结果．令，代入原式，得．所以．故…………①令，代入原式并利用①，得．所以…………②令，代入原式，得．所以……………③令．代入原式并利用③，得．故，即．…………④综合②、④，即得．【例6】【解析】构造数列如下：，，，…，．将它们代入所给函数方程，得，7▎高一·第2讲·联赛班·教师版▎，……．将上面这些等式相加，有．因为，所以．取则．因此．令，那么，，其中、是常数．容易验证，上面的即为所求．【变式】【解析】设，则整理，有．取，求得或．于是．所以．解得．习

8、题1．【解析】由题意知，由得，，因此，，．习题2．【解析】设这个同学从换乘中心出发前身上有元，则当他逛一次商店返回换乘中心后身上剩下的钱为（单位：元）．于是，依题意，，即，解得．该同学总共的路费为元，所以他在四家商店总共花了（元）．习题3．【解析】由，解得或．取，则．算得，于是，从而．习题4．【解析】⑴，其中是常数；7▎高一·第2讲·联赛班·教师版▎⑵，其中是常数，；⑶，其中、是常数