《数学物理方法》PPT课件

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1、其中展开系数ak称为泰勒级数2.2复变函数在解析区域中的幂级数展开上节证明了：幂级数在其收敛圆内解析本节证明其逆定理：解析函数可以展开成幂级数，且这种展开式是唯一的。——解析函数与幂级数的密切关系一、泰勒级数设f(z)在

2、z–b

3、

4、z–b

5、=R内某一点，Cρ为包含z的圆，

6、ξ–b

7、=ρ(0<ρ

8、中4.展开式是唯一的若f(z)能展开成另一种形式：(1)令z=b：(2)对z求导：……——展开式唯一来求ak。由展开式的唯一性，可以用任何方便的办法来求解一个解析函数的泰勒展开式，不必一定要用积分表达式说明：(1)解析函数与泰勒级数之间存在密切关系：a.幂级数在其收敛圆内解析；b.解析函数可以展开成幂级数，且这种展开式是唯一的。(2)如果f(z)在D内有一阶导数存在，则f(z)可在D内每一点的邻域内展开成泰勒级数。而对于实变函数来说，f(x)的一阶导数存在，它的二阶或高阶导数可能不存在，因此f(x)就不可能展开成泰勒级数。二、将解析函数展开成泰

9、勒级数的方法解：因为ez在全平面解析(除z=∞外)，所以常用四种方法：1.直接计算展开系数例：以z=0为展开中心展开f(z)=ez。2.利用初等函数的泰勒级数来展开(特别是，三角函数的级数表示)4.在收敛圆内逐项求导或逐项积分(收敛半径不变)3.利用两个绝对收敛幂级数的乘积或商例将函数f(z)=(1+z)m(m为负整数)，在z=0的周围展开成泰勒级数，并讨论这一展开的收敛区域。解：函数f(z)在z=–1时成为无穷大，而在

10、z

11、<1时解析。根据上述定理知道，它可以在以z=0为心，半径为1的圆内部展开成泰勒级数。按(2-2-3)式计算展开系数：代入

12、(2-2-4)得当m为负整数时，这个级数在

13、z

14、<1的圆内收敛。如果m为正整数，上式仍然成立，且退化成多项式，就是牛顿二项式定理。当m不是正负整数(或零)时，(1+z)m是多值函数，留到以后再讨论。(见3-5习题第7题)例求f(z)=ezcosz在

15、z

16、<∞的展开式。解：对于这一函数直接利用(2-2-3)来求系数，计算较繁，因此将f(z)改写为再利用ez的展开式(2-2-6)得例4函数secz在

17、z

18、<π/2内解析，求它在这个圆内的泰勒展开式。解：我们用待定系数法求这个展开式。设在

19、z

20、<π/2内，secz可展开成但另一方面，在

21、z

22、<π/2内

23、，有因此在

24、z

25、<π/2内，有将上式右边用级数乘法算出，并且与左边比较系数，就可以求得an(n=0,1,2,3…)。例如：余类推，所以三鞍点我们来讨论复变函数的一阶导数为零的点的性质。我们知道，实变函数的一阶导数为零的点是它的极值点(只要二阶导数不为零)，然而，这一结论对于复变函数不成立。讨论实部和虚部的性质。将函数f(z)在满足条件f'(b)=0的b点附近作泰勒展开，当z→∞时，可以只保留f(z)–f(b)的展开式中不为零的第一项，即令代入(2-2-9)式，略去高次项，得到(2-2-10)所谓“沿某一方向穿过b点”，就是先固定一个θ值，让r从

26、大于零减小到零，然后将θ加大π，让r从零增加到大于零。如果对于相应的θ，(2-2-10)式的实部取最大的正值，则在这一方向附近，f(z)上升最陡；如果对于相应的θ，(2-2-10)式的是不取绝对值最大的负值，则在这一方向附近，f(z)下降最陡，因此：由此可见，解析函数f(z)在它的一阶导数为零，f'(z)=0，而二阶导数不为零，即f''(z)≠0的点附近，并不呈现为单纯(2-2-11)因此f'(z)=0、f''(z)≠0的点称为复变函数f(z)的鞍点。的峰或谷(极大或极小)，而是有马鞍的形状，如图2-2-2。