《导数和微分》PPT课件(I)

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1、第五章导数和微分在许多实际问题中，需要从数量上研究变量的变化速度。如物体的运动速度，电流强度，线密度，比热，化学反应速度及生物繁殖率等，所有这些在数学上都可归结为函数的变化率问题，即导数。本章将通过对实际问题的分析，引出微分学中两个最重要的基本概念——导数与微分，然后再建立求导数与微分的运算公式和法则，从而解决有关变化率的计算问题。导数和微分是继连续性之后，函数研究的进一步深化。导数反映的是因变量相对于自变量变化的快慢程度和增减情况，而微分则是指明当自变量有微小变化时，函数大体上变化多少。重点导数与微

2、分的定义及几何解释导数与微分基本公式四则运算法则复合函数求导的链式法则高阶导数隐函数和参量函数求导难点导数的实质，用定义求导，链式法则基本要求①准确叙述导数定义并深刻理解它的实质②会用定义求导数③熟记求导基本公式④牢固掌握链式法则⑤掌握隐函数和参量函数求导法⑥理解高阶导数，掌握求高阶导数的方法⑦弄清微分与导数的联系与区别，理解并会运用一阶微分的形式不变性一、问题的提出1.自由落体运动的瞬时速度问题如图,取极限得5.1导数的概念上述求瞬时速度的方法对一般变速直线运动也同样适用。设物体作变速直线运动，其运

3、动路程为s=s(t)，则物体在时刻t0的瞬时速度定义为速度反映了路程对时间变化的快慢程度2.切线问题割线的极限位置——切线位置播放如果割线MN绕点M旋转而趋向极限位置MT,直线MT就称为曲线C在点M处的切线.极限位置即如图,二、导数的定义定义即其它形式关于导数的说明：导数概念是概括了各种各样的变化率而得出的一个更一般、更抽象的概念，它撇开了变量所代表的特殊意义，而纯粹从数量方面来刻画变化率的本质注意:2.导函数(瞬时变化率)是函数平均变化率的逼近函数.播放单侧导数1.左导数:2.右导数:★三、由定义求

4、导数（三步法）步骤:例1解例2解例3解更一般地例如,例4解特别地例5解特别地例6解四、导数的几何意义与物理意义1.几何意义切线方程为法线方程为切线方程为法线方程为切线方程为法线方程为例7解由导数的几何意义,得切线斜率为所求切线方程为法线方程为2.物理意义非均匀变化量的瞬时变化率.变速直线运动:路程对时间的导数为物体的瞬时速度.交流电路:电量对时间的导数为电流强度.非均匀的物体:质量对长度(面积,体积)的导数为物体的线(面,体)密度.五、可导与连续的关系定理凡可导函数都是连续函数.证注意:该定理的逆定理

5、不成立.连续函数不存在导数举例0例如,例如,01例如,011/π－1/π例8解六、函数极值的定义定义函数的极大值与极小值统称为极值,使函数取得极值的点称为极值点.Fermat定理定理1(必要条件)定义注意:例如,注①这个结论又称为Fermat定理②如果一个可导函数在所论区间上没有驻点则此函数没有极值，此时导数不改变符号③不可导点也可能是极值点可疑极值点：驻点、不可导点七、小结1.导数的实质:增量比的极限;3.导数的几何意义:切线的斜率;4.函数可导一定连续，但连续不一定可导;5.求导数最基本的方法:由

6、定义求导数.6.判断可导性不连续,一定不可导.连续直接用定义;看左右导数是否存在且相等.思考题作业p941,3,4,5,6,7,8,9.思考题解答5.2求导法则和、差、积、商的求导法则定理证(3)证(1)、(2)略.推论例题分析例1解例2解例3解同理可得例4解同理可得例5解同理可得例6解隐函数的导数定义:隐函数的显化问题:隐函数不易显化或不能显化如何求导?隐函数求导法则:用复合函数求导法则直接对方程两边求导.两边对x求导，当遇到y的函数f(y)时将求出的这些导数代入得到关于的代数方程，至于隐函数求二阶

7、导数，与上同理例1解解得例2解所求切线方程为显然通过原点.例3解补证反函数的求导法则由隐函数的微分法则例4解例5求证抛物线上任一点的切线在两坐标轴上的截距之和等于a证故曲线上任一点处切线的斜率为切线方程为故在两坐标轴上的截距之和为对数求导法有时会遇到这样的情形，即虽然给出的是显函数但直接求导有困难或很麻烦观察函数方法:先在方程两边取对数,然后利用隐函数的求导方法求出导数.——目的是利用对数的性质简化求导运算。--------对数求导法适用范围:例6解等式两边取对数得例7解这函数的定义域两边取对数得两边

8、对x求导得两边取对数得两边对x求导得同理例8解两边取对数得两边对x求导得例9解两边取对数得两边对x求导得例10解等式两边取对数得一般地三、小结注意:分段函数求导时,分界点导数用左右导数求.隐函数求导法则:直接对方程两边求导;对数求导法:对方程两边取对数,按隐函数的求导法则求导;思考题求曲线上与轴平行的切线方程.作业p1021,2,3,4.思考题解答令切点为所求切线方程为和5.3由参数方程所确定的函数的导数例如消去参数问题:消参困难或无法消参如何求导?——