《声子比热容》PPT课件

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1、比热容固体中讨论的热容通常指定容热容固体热容的贡献主要有两部分：一是来源于晶格振动(声子)，称为晶格热容；一是来源于电子的热运动，称为电子热容。除非在很低温，电子热运动的贡献往往很小1声子能量在温度为t(=kBT)的声子总能量可表示成所有声子模能量的总和式中表示平衡情况下波矢为K、极化模为p的声子占有数。声子为玻色子，因此有25.1.1普朗克分布（玻色分布）考虑一组处于热平衡的全同谐振子。玻尔兹曼因子表示量子态En出现的热力学概率，则处于第n+1个量子态与第n个量子态的谐振子数目的比为第n个量子态的谐振子占总谐振子数的比为3一个谐振子的平均激发量子

2、数为利用可得此即普朗克分布（玻色分布）45.1.2简正模的计算方法具有不同频率wK,p的谐振子集合的热平衡能量为假定在w~w+dw范围内晶体具有给定极化模为p的振动模式数Dp(w)dw，用积分代替求和，5晶格比热容为所以问题就转化为求Dp(w)，即求单位频率间隔内的模式数目，此函数亦称为模式密度，但常称为态密度65.1.3一维情况下的态密度考虑玻恩-卡曼环状原子链，波矢K的取值L=Na为原子链的长度，所以在区间单位长度的模式数目为L/2p，在其它区间为0实际上我们需要知道的是单位频率间隔内的模式（或状态的数目）D(w)7w(K)是K的偶函数，所以在w处dw间隔

3、内的模式数等于在K处dK间隔内的模式数的两倍当w(K)成水平直线，即群速等于0时，D(w)就出现一个奇点85.1.4三维情况下的态密度将周期性边界条件应用于边长为L的立方体所包含的N3个原胞，于是波矢三个分量的取值与一维的情况一样，即对每一种偏振模式每一支色散，波矢空间每一体积元(2p/L)3内有一个值，即空间每单位体积内允许的值数为9对每种偏振，波矢比K小的模式总数为因此对每种偏振类型，态密度为105.1.5计算态密度的德拜模型德拜具体分析的是各向同性的弹性介质，对每一种偏振假定声速保持恒定，就像在经典弹性连续介质中的情况一样，这时色散关系则态密度便成为11

4、如果样品有N个原胞，则声学声子的总数目就是N个，因此由我们可得到截止频率在空间与此频率相应的截止波矢为12对每一种偏振类型，声子能量为其中定义，以及为简单起见，假定波速v与偏振态无关，因此q称为德拜温度13德拜温度为因此总的声子能量14由上式对温度进行微分运算，可得热容15德拜近似下的固体比热容锗和硅的比热容16根据经典统计理论的能量均分定理，每一个简谐振动的平均能量是kBT，若固体中有N个原子，则有3N个简谐振动模，则固体总能量为杜隆-珀替定律热容为即热容是一个与温度和材料无关的常数，此即杜隆-珀替定律17在高温的极限T>>q情况下，即xD<<1，x<<1所

5、以在高温极限，热容趋于经典值因此185.1.6德拜的T3律在很低的温度(T<

6、.1.7计算态密度的爱因斯坦模型爱因斯坦对晶格振动采用了很简单的假设，即假设晶体中各原子都以相同的频率w0振动。为简单起见，考虑N个原子的一维单原子链态密度热能22此即爱因斯坦模型的结果，三维情况下，用3N取代N，即热容在高温极限同样满足杜隆-珀替定律23金刚石的热容爱因斯坦模型的结果与实验符合的比较好，但是在低温下，爱因斯坦模型与实验不符，具有局限性245.1.8D(w)的一般表达式声子频率在w和w+dw之间的允许K值的数目为这是在空间一个薄壳内积分，薄壳两侧的声子频率分别为w和w+dw这样求态密度的问题就转化为如何计算薄壳的体积了25令dSw表示空间内选定

7、等频面w上的一个面积元，在等频面dw和w+dw之间的体积元是一个以dSw为底、以dK⊥为高的圆柱体其中dK⊥为两等频面之间的垂直距离，另外w的梯度也垂直于等频面w，因此26其中为声子群速，因此因此我们得到态密度的一般表达式27态密度计算例子，如对于一维单原子链28又如对于德拜模型其等频面为一个球面，所以29在的点，也即群速为零的点，态密度将显示出某种奇异性，这些临界点称为范霍夫奇点(VanHoveSingularity)。在这些点，态密度函数曲线中显现出一些尖锐的峰和斜率的突变30