数学建模-随机微分方程法

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1、§13.常见的数学建模方法(8)----随机微分方程法实例:股票价格模型1.股票价格的随机变化过程股票价格的马尔科夫性质在实际经济生活中,投资者都非常密切地注视着股票市场的变化,总想试图通过各种各样的分析,从股票市场的变化中寻找有用的信息而从中获利.但事实上,这是不可能的!因为假定根据过去一段时间内某种股票价格变化的情况,可以判断出在未来的一段时间内,例如在一个月后，这种股票将从现在价格每股10元上涨到每股15元左右.由于一个成熟的市场上,所有的信息在市场上都能有效地(均匀、同时地)传播,这种股票价格变动的特征立即会被众多的投资者发现,投资者第二天开市

2、就会马上买入这种股票,对这种股票的需求也会立即增加,从而导致这种股票的价格当即上扬,变成了每股20元，结果这种所谓已被“察觉”的一个月后必然获利机会瞬间就会消失.这说明上面的“根据股票价格的历史发展情况可以推断出股票价格的今后发展情况”的假定是不成立的.股票价格变化的这个性质被称为“股价具有弱市场有效性”(theweakformofmarketefficiency).弱市场有效性主要是有两点内涵:其一,现在的价格是过去所有信息的完全反映,没有任何信息的作用会持续到以后;其二,对于某种资产的任何新信息,市场会立即作出反映.从数学上来说,这是一种称之为马尔

3、科夫随机过程所具有的性质.马尔科夫过程(Markovprocess)是一种特殊类型的随机过程.这个过程表明只有变量的当前值与未来的预测有关,而变量过去的历史和变量从过去到现在的演变方式与未来的预测不相关.或者说,随机变量过去的取值与今后的取值是相互独立的.因此,在建立股票价格的数学模型时,通常的假设是:股票价格遵循马尔科夫过程.在以下提及的一个的实例中，我们可以看到，这样的假设能经受实践的检验。(2)维纳(Wiener)过程i)基本维纳过程在马尔科夫随机过程的数学研究中,有一种特殊的马尔科夫过程,它被称为基本维纳过程(wienerprocesses).

4、物理学中最早用它来描绘某个粒子受到大量小分子碰撞的运动,有时它也被称为布朗运动(Brownianmotion).如果变量z遵循基本维纳过程,则Δz必须满足两个基本性质:其中ε是服从标准正态分布的一个随机变量.当Δt→0时,方程(*)可以写为:.(b)对于任何两个不同时间间隔Δt,Δz的值是相互独立的.从性质(a),我们推得Δz本身具有正态分布,其中:Δz的均值=Δz的方差=,Δz的标准差=.性质(b)则隐含z遵循马尔科夫过程.下面我们考虑在一段相当长的时间T中z值的变化量,我们将它表示为:z(T)–z(0).这可以被看作是在N个长度为Δt的小时间间隔中

5、z的变化总量.这里N=T/Δt.因此,z(T)–z(0)=其中εi服从标准正态分布,且是相互独立的.由此可得z(T)–z(0)是正态分布的,且:[z(T)–z(0)]的均值=[z(T)–z(0)]的方差==NΔt=T,因此,,遵循维纳过程的随机变量,在任意长度为T的时间间隔内的变化量服从于均值为0、标准差为的正态分布.当Δt→0时,体现维纳过程性质(a)的方程(*)可以写为:.对于维纳过程而言,我们常称其随机变量在某个时刻的平均值为该变量在该时刻的“平均漂移”,而称在单位时间处的平均漂移为该维纳过程的漂移率;同时还称此随机变量在单位时间处的方差值为该维

6、纳过程的方差率.上面讨论到的维纳过程,其漂移率应是0,方差率应是1.这里,漂移率为0,意味着在未来任何时刻,z的期望值等于它的当前值;方差率为1,意味着在长度为T的一段时间段后,z的变化的方差为1×T=T.漂移率为0、方差率为1的维纳过程,我们常称之为基本维纳过程.生成基本维纳过程的Mathematica软件程序可以写为：ii)一般化维纳过程(generalizedwienerprocess)在基本维纳过程的基础上,还可以定义一个广义类型的维纳过程.dx=adt+bdz(#)设随机变量x满足以下等式:其中a和b为常数,变量z遵循基本维纳过程,则称变量x

7、遵循一般化维纳过程.从一般化维纳过程的定义式(#)可以看出,adt项表明x是时间t的线性函数,而bdz项可被看作是添加到x的变动轨迹上的噪声或波动.换言之,一个线性变化过程与一个基本维纳(随机)过程的叠加结果便是一个一般化维纳(随机)过程.生成一般化维纳过程的Mathematica软件程序可以写为：随机微分方程(#)也可改写为:容易看出,Δx的均值=aΔt,Δx的方差=b2Δt,Δx的标准差=类似i)中的讨论可得:[x(T)–x(0)]的均值=aT,[x(T)–x(0)]的方差=b2T,[x(T)–x(0)]的标准差=由此可以说,遵循一般化维纳过程的随

8、机变量x,在任意长度为T的时间间隔内的变化量[x(T)–x(0)]服从于均值为aT,方差为b2