《函数分布期望》PPT课件

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1、概率论与数理统计北京大学第2版数学系信息与计算科学教研室GCG@SHU.EDU.CN2.2随机变量函数的分布在分析和解决实际问题时，经常要用到由一些随机变量经过运算或变换而得到的某些变量---随机变量的函数，它们也是随机变量，也有其自身的分布。如我们能测量圆轴截面的直径d(r.v.),而关心的却是其截面积(也是r.v.)在本节中我们将论述如何由随机变量X的分布导出它的函数Y=g(X)(g(.)是已知的连续函数)的分布。（一）离散型随机变量函数分布例1：设随机变量X的分布律为解：由X的分布律可得由此可得（二）连续型随机变量函数

2、分布例2：设随机变量X的概率密度为求随机变量Y=2X+8的概率密度。解：例3：设随机变量X的概率密度为求随机变量的概率密度。解：2.3随机变量的数字特征一个随机变量，知道概率分布也就知道它的全部统计特征。然而实际问题中，随机变量的概率分布往往不易求得，也有不少问题并不要求全部统计特性.如比较电子元件寿命,不能一个一个比较，而是用它寿命平均比较；其次比较元件寿命“离散程度”,离散程度大,说明生产不稳定，反之,说明生产比较稳定。用来描述随机变量统计特征的数字，称为随机变量的数字特征。随机变量常用数字特征：数学期望(均值)、方差、

3、协方差和相关系数。一、随机变量的数学期望对于随机变量，时常要考虑它平均取什么值。先来看一个例子：一批钢筋共有10根，抗拉强度指标为120和130的各有2根，125的有3根，110，135，140的各有1根。则它们的平均抗拉强度指标为：从计算中可以看到，平均抗拉强度指标并不是这10根钢筋所取得的6个值的简单平均，而是以取这些值的次数与试验总次数的比值（即频率）为权数的加权平均。定义：例1.甲、乙两人进行打靶，所得分数分别记为X1，X2，它们的分布律分别为：试评定他们的成绩的好坏。解：很明显，乙的成绩远不如甲的成绩。例2.若有n

4、把看上去样子相同的钥匙，其中只有一把能打开门上的锁，用它们去试开门上的锁。设取到每把钥匙是等可能的。若每把钥匙试开一次后除去。试求试开次数X的数学期望。解：设{X=k}表示前面k-1次没有打开，第k次打开。则例3.试求下列数学期望10张中1张写数字1，2张写数字2，3张写数字3，4张写数字4。X的可能取值为2，3，4。且定义：例1.设连续型随机变量X的概率密度为求数学期望E(X).解：例2.若X服从[a,b]区间上的均匀分布,求EX.解：EX=例3设随机变量X服从参数为λ的指数分布,求EX.解X密度函数为EX=类似计算可得:

5、若X~N(μ,σ2),则EX=μ.常用分布随机变量的数学期望例4.某公司有足够的资金从事20个项目的独立开发，任何一个项目开发成功的概率为0.1,求下列问题:(1)至少一项开发成功的概率；(2)预期多少项目可以开发成功？解：设X为开发成功项目数，(1)至少一项开发成功的概率为求项目可以开发成功的预期个数也就是求随机变量X的数学期望，(个)定理：设Y=g(X)是r.v.X的函数，(其中g(·)是连续函数)(1)如X是离散型随机变量，其分布律为则有(2)如X是连续型随机变量，其密度函数为f(x),则有例1：设随机变量X的分布律为

6、解：例2设随机变量X服从[0,π]的均匀分布,求解由题意得数学期望的性质（假设所遇到的随机变量的数学期望均存在）1.设c是常数，则2.设X是随机变量，c是常数，则3.设X,Y是两个随机变量，则这个性质可推广到任意有限个随机变量之和的情形。4.设X,Y是两个相互独立的随机变量，则这个性质可推广到任意有限个相互独立的随机变量之积的情形。例1：已知随机变量X服从参数为1/2的指数分布，则随机变量Z=3X-2的数学期望E(Z)=（）。解：EZ=3EX-2=4解:EZ=EX-EY=2-(-2)=4E(XY)==(EX)(EY)=-4例

7、2：已知随机变量X服从参数为2的泊松(Poisson)分布,Y~N(-2,4),Z=X-Y,则EZ=();若X,Y独立,则E(XY)=().例3：一民航送客车载有20位旅客自机场开出，旅客有10个车站可以下车。如到达一个车站没有旅客下车就不停车。以X表示停车的次数，求E(X)(设每位旅客在各个车站下车是等可能的，并设各旅客是否下车相互独立)。解：引入随机变量易知按题意，任一旅客在第i站不下车的概率为9/10，因此20位旅客都不在第i站下车的概率为在第i站有人下车的概率为即所以则=8.784（次）