数学人教版八年级下册二次根式的定义性质

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1、16.1 二次根式第1课时 二次根式的概念1.能用二次根式表示实际问题中的数量及数量关系,体会研究二次根式的必要性;(难点)2.能根据算术平方根的意义了解二次根式的概念及性质,会求二次根式中被开方数中字母的取值范围.(重点)                  一、情境导入问题1:你能用带有根号的式子填空吗?(1)面积为3的正方形的边长为________,面积为S的正方形的边长为________.(2)一个长方形围栏,长是宽的2倍,面积为130m2,则它的宽为________m.(3)一个物体从高处自由落下,落到地面所用的时间t(单位:s)与落下的高度h(单位:m)满足关系h=5t

2、2,如果用含有h的式子表示t,则t=______.问题2:上面得到的式子,,,分别表示什么意义?它们有什么共同特征?二、合作探究探究点一:二次根式的定义下列各式中,哪些是二次根式,哪些不是二次根式?(1);(2);(3);(4);(5);(6)(x≤3);(7)(x≥0);(8);(9);(10)(ab≥0).解析:要判断一个根式是不是二次根式,一是看根指数是不是2,二是看被开方数是不是非负数.解:因为,,=,(x≤3),,(ab≥0)中的根指数都是2,且被开方数为非负数,所以都是二次根式.的根指数不是2,,(x≥0),的被开方数小于0,所以不是二次根式.方法总结:判断一个式子是

3、不是二次根式,要看所给的式子是否具备以下条件:(1)带二次根号“”;(2)被开方数是非负数.探究点二:二次根式有意义的条件【类型一】根据二次根式有意义求字母的取值范围求使下列式子有意义的x的取值范围.(1);(2);(3).解析:根据二次根式的性质和分式的意义,被开方数大于或等于0且分母不等于0,列不等式(组)求解.解:(1)由题意得4-3x>0,解得x<.当x<时,有意义;(2)由题意得解得x≤3且x≠2.当x≤3且x≠2时,有意义;(3)由题意得解得x≥-5且x≠0.当x≥-5且x≠0时,有意义.方法总结:含二次根式的式子有意义的条件:(1)如果一个式子中含有多个二次根式,那

4、么它们有意义的条件是各个二次根式中的被开方数都必须是非负数;(2)如果所给式子中含有分母,则除了保证二次根式中的被开方数为非负数外,还必须保证分母不为零.【类型二】利用二次根式的非负性求解(1)已知a、b满足+

5、b-

6、=0,解关于x的方程(a+2)x+b2=a-1;(2)已知x、y都是实数,且y=++4,求yx的平方根.解析:(1)根据二次根式的非负性和绝对值的非负性求解即可;(2)根据二次根式的非负性即可求得x的值,进而求得y的值,进而可求出yx的平方根.解:(1)根据题意得解得则(a+2)x+b2=a-1,即-2x+3=-5,解得x=4;(2)根据题意得解得x=3.则y=4,

7、故yx=43=64,±=±8,∴yx的平方根为±8.方法总结:二次根式和绝对值都具有非负性,几个非负数的和为0,这几个非负数都为0.探究点三:和二次根式有关的规律探究性问题先观察下列等式,再回答下列问题.①=1+-=1;②=1+-=1;③=1+-=1.(1)请你根据上面三个等式提供的信息,写出的结果;(2)请你按照上面各等式反映的规律,试写出用含n的式子表示的等式(n为正整数).解析:(1)从三个等式中可以发现,等号右边第一个加数都是1,第二个加数是个分数,设分母为n,第三个分数的分母就是n+1,结果是一个带分数,整数部分是1,分数部分的分子也是1,分母是前项分数的分母的积;(2

8、)根据(1)找的规律写出表示这个规律的式子.解:(1)=1+-=1;(2)=1+-=1(n为正整数).方法总结:解答规律探究性问题,都要通过仔细观察找出字母和数之间的关系,通过阅读找出题目隐含条件并用关系式表示出来.三、板书设计1.二次根式的定义一般地,我们把形如(a≥0)的式子叫做二次根式.2.二次根式有意义的条件被开方数(式)为非负数;有意义⇔a≥0.通过将新知识与旧知识进行联系与对比,随后由学生熟悉的实际问题出发,用已有的知识进行探究,由此引入二次根式.在教学过程中让学生感受到研究二次根式是实际的需要,体会到数学与实际生活间的紧密联系,以此充分激发学生学习的兴趣.

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