高中数学联赛数列题汇总

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1、圣才学习网www.100xuexi.com1、（2000一试4）给定正数p,q,a,b,c，其中pq，若p,a,q是等比数列，p,b,c,q是等差数列，2则一元二次方程bx2ax+c=0（）(A)无实根(B)有两个相等实根(C)有两个同号相异实根(D)有两个异号实根2、（2003一试1）删去正整数数列1，2，3，……中的所有完全平方数，得到一个新数列．这个数列的2003项是（）(A)2046(B)2047(C)2048(D)2049【解析】C22【解析】45=2025，46=2116．在1至2025之间有完全平方数45个，而2026至2115之间没有完全平方数．故1至2025

2、中共有新数列中的2025－45=1980项．还缺2003－1980=23项．由2025+23=2048．知选C．n－1【解析】由于a1，a2，…，an－1中的每一个都可以取0与1两个数，Tn=2．n－2n－1在每一位(从第一位到第n－1位)小数上，数字0与1各出现2次．第n位则1出现2次．n－2n－2－nSn111∴Sn=20.11…1+210．∴lim==．n→∞Tn2918圣才学习网www.100xuexi.com圣才学习网www.100xuexi.com5、（2004一试11）已知数列a0，a1，a2，…，an，…满足关系式(3－an+1)(6+an)=18，且a0=

3、3，n1则∑的值是i=0ai231920f(x)1xxxxxy6、(2005一试7)将关于x的多项式表为关于的多g(y)项式21920a0a1ya2ya19ya20y,其中yx4.则a0a1a20.7、（2007一试10）已知等差数列{an}的公差d不为0，等比数列{bn}的公比q是小于1的正222aaa123有理数。若a1=d，b1=d2，且b1b2b3是正整数，则q等于。1【答案】2222222aaaa(ad)(a2d)1412311122bbbbbqbq1qq【解析】因为123111，故由已知条

4、件知道：142141qq21+q+q为m，其中m为正整数。令m，则圣才学习网www.100xuexi.com圣才学习网www.100xuexi.com11141563m14q11324m24m。由于q是小于1的正有理数，所以m，563m1q即5≤m≤13且4m是某个有理数的平方，由此可知2。n1Sann8、（2008一试10）设数列{}an的前n项和Sn满足：nn(1)，n1,2,，则通项an=．{a}{b}9、（2010一试4）已知n是公差不为0的等差数列，n是等比数列，其中a13,b11,a2b2,3a5b3，且存在常数,

5、使得对每一个正整数n都有anlogbn，则.333【答案】【解析】设{an}的公差为d,{bn}的公比为q，则23dq,3(34d)q（1），（2）2（1）代入（2）得912dd6d9，求得d6,q9.圣才学习网www.100xuexi.com圣才学习网www.100xuexi.comn136(n1)log96n3(n1)log9从而有对一切正整数n都成立，即对一切正整数n都成立.log96,3log933从而，求得3,3，33.10、（2009一试7）一个由若干行数字组成的数表，

6、从第二行起每一行中的数字均等于其肩上的两个数之和，最后一行仅有一个数，第一行是前100个正整数按从小到大排成的行，则最后一行的数是（可以用指数表示）Sn11、（2000一试13）设Sn=1+2+3+…+n,nN，求f(n)=(n32)Sn1的最大值.12、（2000二试2）设数列{an}和{bn}满足，且an17an6bn3n0,1,2,b8a7b4n1nn证明an（n=0，1，2，…）是完全平方数．【解析】[证法一]：由假设得a1=4,b1=4且当n1时圣才学习网www.100xuexi.com圣才学习网www.100xuexi.com（2a-

7、1）+3bn1=(14a+12b-7)+3(8a+7b-4)=[(2a-1)+3bn](7+43)n+1nnnnn依次类推可得n1n（2a-1）+3bn=(7+43)(2a-1+3b1)=(7+43)n13b3)n同理（2a-1+）-n=(7+4n111nn3)3)从而an=4(7+4+4(7+4+2.233)由于74=（2，11nn23)3]所以an=[2(2++2(2-)112knCnk3)3n02kn32n2k由二项式展开得cn=2(2++2(2-)=,显然