一类半线性椭圆方程渐近性的分析

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1、摘要本文主要研究Ｒ２中的有界光滑区域Ｑ上的椭圆方程，宴ｚ∈０ｆｌ的爆破解的渐近性态。在文献【２３】中，ＴａｋａｓｉＳｅｎｂａ和ＴａｋａｓｈｉＳｕｚｕｋｉ用复分析的方法给出了该方程爆破解的渐近性分析，但该方法只能解决二维中关于拉普拉斯算子的问题，不适合解决高维或者一般算子的问题。本文借助已有的一些定理来重新证明这些性质，从而避免了使用复分析方法。问题的关键在于将该方程变换成为－－Ａｗ＝Ｖ（ｘ）ｅｗ型的方程。首先通过共形映射对定义域的边界做拉直变换，再对方程进行偶延拓以摆脱边界条件的限制，从而可以直接利用转换后方程的已有结

2、果。根据Ｂｒｅｚｉｓ－Ｍｅｒｌｅ定理（【３】）得到一Ａｗ＝ｖ（ｘ）ｅ”的爆破解的渐近性，再利用Ｌｉ－Ｓｈａｆｒｉｒ定理（【１８】）对该渐近性质进行完善，最后本文通过类似证明Ｐｏｈｏｚａｅｖ等式的一系列计算得到了结论，从而完成了对该方程爆破解的渐近性的重新证明。关键词：爆破集、渐近性、偶延拓、标准椭圆估计、共形映射一季＂＋伽：Ｊｎ∥笔。∈Ｑ。劬：ｏＡｂｓｔｒａｃｔＷｅａｒｅｉｎｔｅｒｅｓｔｅｄｉｎｔｈｅｅｌｌｉｐｔｉｃｂｏｕｎｄａｒｙｖａｌｕｅｐｒｏｂｌｅｍ—Ａｖ＋ａｖ＝参讥Ｑ删ｈ瓦０ｖ＝。ｏｎ砌ｗｈｅｒｅＱｃＲ２ｄｅｎ

3、ｏｔｅｓａｂｏｕｎｄｅｄｄｏｍａｉｎｗｉｔｈｓｍｏｏｔｈｂｏｕｎｄａｒｙ施．ＴａｋａｓｉＳｅｎｂａａｎｄＴａｋａｓｈｉＳｕｚｕｋｉ［２３］ｏｂｔａｉｎｅｄｔｈｅａｓｙｍｐｔｏｔｉｃｂｅｈａｖｉｏｒｏｆｔｈｅｂｌｏｗ－ｕｐｓｏｌｕｔｉｏｎｓｏｆｔｈｉｓｅｌｌｉｐｔｉｅｅｑｕａｔｉｏｎｂｙｃｏｍｐｌｅｘａｎａｌｙｓｉｓ，ｗｈｉｃｈｉｓｒｅｓｔｒｉｃｔｅｄｔｏｓｏｌｖｅｔｈｅＬａｐｌａｃｉａｎｐｒｏｂｌｅｍｉｎｄｉｍｅｎｓｉｏｎ２．Ｔｈｉｓａｒｔｉｃｌｅｗｉｌｌｇｉｖｅａｎｏｔｈｅｒｐｒｏｏｆ．Ｔｈｅｋｅｙｉｄｅａｏｆｔｈｉ

4、ｓａｒｔｉｃｌｅｉ８ｔｏｃｈａｎｇｅｔｈｉｓｅｌｌｉｐｔｉｃｅｑｕａｔｉｏｎｔｏｔｈｅｅｑｕａｔｉｏｎ－Ａｗ＝ｖ（ｘ）ｅ”．ｗｈｍｈｗｅｈａｖｅｔｈｅａｓｙｍｐｔｏｔｉｃｂｅｈａｖｉｏｒｏｆｔｈｅｂｌｏｗ－ｕｐｓｏｌｕｔｉｏｎｓａｃｃｏｒｄｉｎｇｔｏＢｒｅｚｉｓ—Ｍｅｒｌｅ［３］．Ｆｉｒｓｔ，Ｗｅｕｓｅａｃｏｎｆｏｒｍａｌｍａｐｐｉｎｇｔｏｓｔｒａｉｇｈｔｅｎｔｈｅｂｏｕｎｄａｒｙ，ｓｏｔｈａｔｗｅｃａｎｔａｋｅａｎｅｖｅｎｅｘｔｅｎｓｉｏｎ，ｔｈｅｒｅｂｙａｖｏｉｄｄｉｓｃｕｓｓｉｎｇｔｈｅｂｏｕｎｄａｒｙｃｏｎｄｉ

5、ｔｉｏｎ．Ｔｈｅｎ，ｗｅｇｅｔｔｈｅｒｅｓｕｌｔａｆｔｅｒａｃａｒｅｆｕｌｃａｌｃｕｌａｔｉｏｎ（ｔｈｅｋｅｙｔｏｏｌｉｓＰｏｈｏｚａｅｖｉｄｅｎｔｉｔｙ）．Ｔｈｕｓｔｈｅａｓｙｍｐｔｏｔｉｃｂｅｈａｖｉｏｒｏｆｔｈｅｂｌｏｗ－ｕｐｓｏｌｕｔｉｏｎｓｏｆｔｈｅｅｌｌｉｐｔｉｃｅｑｕａｔｉｏｎｉｓｏｂｔａｉｎｅｄ．Ｋｅｙｗｏｒｄｓ：ｂｌｏｗ－ｕｐｓｅｔ、ａｓｙｍｐｔｏｔｉｃｂｅｈａｖｉｏｒ、ｅｖｅｎｅｘｔｅｎｓｉｏｎ、ｓｔａｎｄａｒｄｅｌｌｉｐｔｉｃｅｓｔｉｍａｔｅ、ｃｏｎｆｏｒｍａｌｍａｐｐｉｎｇ学位论文独创－性声明本

6、人所呈交的学位论文是我在导师的指导下进行的研究工作及取得的研究成果。据我所知，除本文中已注明引用的内容外，本论文不包含其他个人已经发表或撰写的研究成果。对本文的研究作出重要贡献的个人和集体，均已在文中做了说明并表示感谢。作者签名：——日期：——学位论文使用授权声明本人完全了解华东师范大学有关保留、使用学位论文的规定，学校有权保留学位论文并向国家主管部门或指定机构送交论文的电子版和纸质版。有权将学位论文用于非赢利目的的少量复制并允许论文进入学校图书馆被查阅。有权将学位论文的内容编入有关数据库进行检索。有权将学位论文的标题

7、和摘要汇编出版。保密的学位论文在解密后适用于本声明。作者签名燃吼竺陋，彤翩签名：她慨遗］：！、ｔ尹§１．引言回顾偏微分方程的研究，它起源于１８世纪Ｅｕｌｅｒ，ｄ’Ａｌｅｍｂｅｒｔ，Ｌａｇｒａ－ｎｇｅ，Ｌａｐｌａｃｅ和其他人的工作。当时它被作为描述连续力学的核心工具，更一般地，被作为分析物理科学中模型研究的主要方式。实际上，科学，技术、工程以及工业，经常是刺激偏微分方程发展的无限源泉。‘作为一门学科，偏微分方程在分析过程中始终处于核心位置。从Ｃａｕｃｈｙ－Ｒｉｅｍａｎｎ方程和Ｆｏｕｒｉｅｒ级数开始，调和分析中许多得到发展

8、的最重要的课题都与偏微分方程理论有着密切的联系。带参数的偏微分方程也是一类被研究较多的方程，通过对参数的分析来研究方程的解的存在性以及渐近性质。爆破分析是这类方程中比较有用的方法，该方法主要是通过伸缩变换把区域放大，让我们能更加细致的研究解的性质，所以通常被用来研究解的渐近性态。在本文中我们给出了一类半线性椭圆方程的爆破解的渐近性