一类具有变号权的渐进线性椭圆方程解的存在性

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1、第32卷第12期宜春学院学报Vo1．32，No．122010年12月JournalofYichunCollegeDec．2010一类具有变号权的渐进线性椭圆方程解的存在性余晓辉(深圳大学高级研究中心，广东深圳518060)摘要：研究渐进线性椭圆方程r一△=Q()／u)，∈，Iu：0，a力解的存在性具有重要的意义，其中n是中的光滑有界区域，N≥l。假定非线性项，(u)在原点超线性，在无穷远点渐进线性增长，a()为一变号的函数。将证明在适当的条件下，方程至少存在一个非平凡的解。关键词：变号权；渐进线性椭圆方程；Ceram

2、i条件；存在性。中图分类号：O175．25文献标志码：A文章编号：1671—380X(2010)12—0006—031引言．中提到，当n+是无界集的时候，即使在非常弱的假设下，研究半线性椭圆方程方程(1．3)都没有解。但是在最近的一篇文章¨叫中，作r一,4u=a()，(IX)，∈n，，11、者证明了当+无界的时候，方程iu：o，∈df—Au“Q()。“。P-lu~∈RN(1．4)解的存在性具有重要的意义，其中是中的光滑有【“∈打(R)界区域，Ⅳ≥1。a(x)为一变号的函数，它可以表示成仍然存在非平凡的解。需要特别说明

3、的是，作者在n。]Q()=a一a一，其中Q和Q一分别为函数Q()的正部中既没有假设“厚性”条件，也没有假设当a()=0时和负部。记12+={E：Q()>0}，n一={∈n：a()

4、n，，1，'、i：0．∈a(Ps)条件不满足。为了克服上述困难，通常的做法是用局部(PS)条件代替全局(PS)条件。特别地，当在论文[1—3]中已经有了大量的研究。在这些研究中，为了证明(PS)序列的有界性，作者加了一个“厚l!msupQ(x)=z的时候，作者在_】中证明了泛函失去紧性性”条件，即+n一=。后来H_Berestycki、I．的原因在于“极限方程”Capuzzo—Dolcetta和LNirenberg在中去掉了这个条件，一△u+n：Q()luI一。u，∈B(1．5)改用拓扑度方法证明解的存在性。用拓扑度

5、方法证明解的的最低能量解。更确切地说，如果令存在性关键在于先验估计，因此，为了证明先验界，作者在加了一个“非退化性”条件，即在a()=0的地方)=÷I“I2+dx一)Idxa()≠0o后来M．Ramos、S．Terracini和C．TroestlerⅡ∈(R)和在中将这两种方法结合了起来，他们证明了当A=0}A的时候，方程(1．2)至少存在一个非平凡的解，其中那么A。是一△算子在0狄利克雷边值条件下的第k个特征值。．，=inf，(“)(1．6)受的启发，D．

6、Costa等在和中研究了全空间上有定义，并且这个极小值对应方程(1．5)的正解。作具有变号权的方程者在中证明了当CE(0，J)的时候，方程(1．4)对应J一△uhh“+Q()“)，∈，(1．3)的泛函满足()条件，进而证明了存在性结果。L“∈H(R)解的存在性。在这些文章中，他们都假设是有界集以上的存在性结果都是关于超线性方程的，另一方面，以保证(PS)条件成立。当+是元界集时，关于方程关于渐进线性椭圆方程解的存在性也有了大量的研究，可(1．3)的存在性结果还比较少，特别地，D．Costa等在j参考][Ⅲ‘等。在这些

7、文章中，作者要求方程右端非线性收稿日期：2010—09—27基金项目：深圳大学博士启动基金，NO：801000036。作者简介：余晓辉(1982一)，男，四川省南充人，讲师，博士，主要从事非线性椭圆偏微分方程的研究。·6·第12期余晓辉：一类具有变号权的渐进线性椭圆方程解的存在性第32卷项非负以保证解的存在性。目前关于非线性项具有变号权，一C2IIa(x)lILC。l1ulIp~l(2．2)且在无穷远点渐进线性增长的椭圆方程的研究还很少。众选取8>0充分小，那么很容易得到(1)成立。所周知，对于超线性椭圆方程，如果不

8、存在变号权，那么对于(2)，只需要直接计算这个极限即可。事实上很容易证明(PS)条件满足，但是当方程具有变号权的时．，(￡以)11msup———一候，证明(PS)条件通常变得比较困难；另一方面，对于I—’∞Z)F(t^())渐进线性方程，即使非线性项非负，通常也很难验证(PS)=ifI()：

9、_·irIfmf,条件满足，常用的做法是用Ceram