空间向量的正交分解及其坐标表示》

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1、3.1.4空间向量的正交分解及其坐标表示由平面向量基本定理知,平面内的任意一个向量都可以用两个不共线的向量来表示.arbrarbr=x+yarbr那么，对于空间的任意一个向量,有没有类似的结论呢?xyzQPO一、空间向量基本定理：如图，设是空间三个两两垂直的向量，且有公共起点O。对于空间任意一个向量,设点Q为点P在所确定的平面上的正投影，由平面基本定理可知，在所确定的平面上，存在实数z，使得,而在所确定的平面上，由平面向量基本定理可知，存在有序之前数对(x,y)，使得.kzOQOP+=kOQ,从而，有：我们称为

2、向量在上的分向量。由此可知，如果是空间三个两两垂直的向量，那么，对空间任一个向量，存在一个有序实数组{x,y,z},使得xyzQPO在空间中，如果用任意三个不共面向量代替两两垂直的向量,能得到类似的结论吗？空间向量基本定理：如果三个向量不共面，那么对空间任一向量,存在有序实数组{x,y,z}，使得{}叫做空间的一个基底，都叫做基向量。思考：空间所有向量的集合{,x,y,z∈R}思考:基底应注意什么呢?1.任意三个不共面的向量都可作为空间向量的一个基底2.三个基向量每一个都不能为零向量3.一个基底是指一个向量组,一

3、个基向量是指一个向量二、空间向量的正交分解及其坐标表示xyzOe3PP′Pe1e2例1设且是空间的一个基底,给出下列向量组②③④,其中可以作为空间的基底的向量组有()A.1个B.2个C.3个D.4个分析:能否作为空间的基底,即是判断给出的向量组中的三个下向量是否共面,由于是不共面的向量,所以可以构造一个平行六面体直观判断A1AD1C1B1DCB设,易判断出答案C例题讲解：BANCOMQP例2、如图，M，N分别是四面体OABC的边OA，BC的中点，P，Q是MN的三等分点。用向量表示和。变式空间四边形OABC中,M在

4、OA上,OM=3MA,N在BC上,且BN=2NC,设,用向量表示CBMNOA小结：1、选定空间不共面的三个向量作为基向量,并用它们表示出指定的向量,是用向量解决立体几何问题的基本要求；2、求解时要结合已知和所求观察图形,联想相关的运算法则和公式,就近表示所需向量,再对照目标进行调整,直到符合要求.作业：课本P98：1011