离散数学第六章代数系统

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1、第六章代数系统基本概念及性质离散数学陈志奎主编人民邮电出版社爱因斯坦小时候曾好奇的问他的叔叔：“代数是什么”？（那时候他只学过算术）他的叔叔回答的很妙：“代数是一种懒惰人的算术，当你不知道某些数时，你就暂时假设它为x、y，然后再想办法去寻找它们。”道理一经点破，就好象“哥伦布立蛋”的故事一样，人人都会做了。代数是什么？以符号代替数的解题方法就是代数。代数是从算术精炼出来的结晶，虽平凡但妙用无穷。因此它又叫做广义算术(generalizedarithmetic)或进阶算术(advancedarithmetic

2、)或普遍算术（universalarithmetic）。什么是代数？Algebra一名来自阿拉伯文al-jabr，al为冠词，jabr之意为恢复或还原，解方程式时将负项移至另一边变成正项，也可说是还原，也有接骨术的意思。中国在1859年正式使用代数这个名词（李善商在代微积拾级一书中的序中指出“中法之四元，即西法之代数也”），在不同的时期有人用算术作为代数的名称，中国古书九章算术其实是一本数学百科全书，代数问题分见于各章，特别是第八章方程，主要是论述线性（一次）联立方程组的解法，秦九韶（1249）的数书九章中

3、有“立天元一”的术语，天元就是代表未知数，用现在的术语来说就是“设未知数为x”。代数﹝Algebra﹞是数学的其中一门分支，可大致分为初等代数学和抽象代数学两部分。代数的由来初等代数学：是指19世纪中期以前发展的方程理论，主要研究某一方程﹝组﹞是否可解，如何求出方程所有的根﹝包括近似根﹞，以及方程的根有何性质等问题。抽象代数：是在初等代数学的基础上产生和发展起来的。它起始于十九世纪初，形成于20世纪30年代。在这期间，挪威数学家阿贝尔(N.H.Abel)、法国数学家伽罗瓦(E′.Galois)、英国数学家德

4、·摩根(A.DeMorgan)和布尔(G.Boole)等人都做出了杰出贡献，荷兰数学家范德瓦尔登(B.L.VanDerWaerden)根据德国数学家诺特(A.E.Noether)和奥地利数学家阿廷(E.Artin)的讲稿，于1930年和1931年分别出版了《近世代数学》一卷和二卷，标志着抽象代数的成熟。代数系统是以研究数字、文字和更一般元素的运算的规律和由这些运算适合的公理而定义的各种数学结构的性质为中心问题。它对现代数学如扑拓学、泛函分析等以及一些其他科学领域，如计算机科学、编码理论等，都有重要影响和广泛

5、地应用。代数的由来PART01PART02PART03代数系统的一般概念代数系统的基本性质同态与同构PART04代数系统实例PART05同余、商代数、积代数内容安排定义6.1设S是个非空集合且函数f：Sn→S，则称f为S上的一个n元运算。其中n是自然数，称为运算的元数或阶。当n=1时，称f为一元运算，当n=2时，称f为二元运算，等等。定义6.2如果对给定集合的成员进行运算，从而产生了象点，而该象点又是同一集合的成员，则称此集合在该运算下是封闭的，这种性质成为闭包性或封装性。注意到，n元运算是个闭运算，因为经

6、运算后产生的象仍在同一个集合中。封闭性表明了n元运算与一般函数的区别之处。此外，有些运算存在幺元或零元，它在运算中起着特殊的作用，称它为S中的特异元或常数。6.1代数系统的定义运算的例子很多。例如，在数理逻辑中，否定是谓词集合上的一元运算，合取和析取是谓词集合上的二元运算；在集合论中，并与交是集合上的二元运算；在整数算术中，加、减、乘运算是二元运算，而除运算便不是二元运算，因为它不满足封闭性。6.1代数系统的定义运算表：表示有穷集上的一元和二元运算6.1代数系统的定义二元运算的运算表一元运算的运算表在本章讨

7、论的代数结构中，主要限于一元和二元运算。将用′、┐或ˉ等符号表示一元运算符；用、、⊙、*、∨、∧、∩、∪等表示二元运算符。一元运算符常常习惯于前置、顶置或肩置，如┐x、x′；而二元运算符习惯于前置、中置或后置，如：+xy，x+y，xy+。有了集合上运算的概念后，便可定义代数系统了。6.1代数系统的定义定义6.3设S是个非空集合，且fi是S上的ni元运算，其中i=1，2，…，m。由S及f1，f2，…，fm组成的结构，称为代数系统，记作V=。S称为代数系统的载体，S和运算叫做代数

8、系统的成分.其中，“定义在S上的运算”指设集合S，f为一个SS的映射，即对任意的aS，存在唯一的bS，使得b是a在f下的像，记为f（a）=b，称a是b在f下的原象。映射f又称为函数。6.1代数系统的定义定义6.4设是一个代数系统，且非空集TS在运算f1，f2，…，fm作用下是封闭的，则称为代数系统的子代数系统，记为