概率论与数理统计(数理统计的基本概念)

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1、现在转入课程的第二部分数理统计数理统计的特点是应用面广，分支较多,社会的发展不断向统计提出新的问题。从历史的典籍中，人们不难发现许多关于钱粮、户口、地震、水灾等等的记载，说明人们很早就开始了统计的工作.但是当时的统计，只是对有关事实的简单记录和整理，而没有在一定理论的指导下，作出超越这些数据范围之外的推断.到了十九世纪末二十世纪初，随着近代数学和概率论的发展，才真正诞生了数理统计学这门学科.数理统计学概率论与数理统计是两个有密切联系的学科,它们都以随机现象的统计规律为研究对象.但在研究问题的方法上有很大区别：概率论——已知随机变量服从

2、某分布,寻求分布的性质、数字特征、及其应用;数理统计——通过对试验数据的统计分析,寻找所服从的分布和数字特征,从而推断总体的规律性.它们构成了统计推断的两种基本形式.这两种推断渗透到了数理统计的每个分支.概括起来可以归纳成两大类:参数估计──根据数据,用一些方法对分布的未知参数进行估计.假设检验──根据数据,用一些方法对分布的未知参数进行检验.数理统计的核心问题——由样本推断总体第6章数理统计的基本概念6.1总体和样本6.3抽样分布6.2数理统计中的某些常用分布6.1总体和样本一、总体与个体二、样本与简单随机样本三、统计量个体：一、总

3、体与个体总体:所研究的对象的全体,也称母体.一般用表示某工厂生产的产品的某项指标民意测验的全体对象某林区的树木直径组成总体的单个对象,一般用表示抽样:从总体中抽取一部分个体的过程随机抽样:从总体中随机抽取一部分个体的过程简单随机抽样:总体中每个个体等可能被抽取的随机抽样样本:经抽样取得的个体的集合二、样本与简单随机样本简单随机样本:经简单随机抽样取得的个体的集合样本点:样本中的个体样本容量:样本中包含的个体的数量样本观测值:对样本进行观测的结果,以后未经声明抽样即为简单随机抽样样本即为简单随机样本常见的要求和叙述:样本的同分布性和相互

4、独立性三、统计量对所研究的对象收集了有关样本的数据后,还要对数据进行加工和提炼,将样本的有关信息,利用数学的工具进行加工.引入统计量的概念定义例1为一个统计量为一个统计量不是统计量不是统计量为一个统计量为一个统计量常见统计量:样本均值样本方差显然样本均方差样本标准差样本修正方差显然样本k阶中心矩样本k阶原点矩显然6.2数理统计中的某些常用分布一、2分布二、t分布三、F分布2分布的定义及概率密度一、2分布分布的密度函数为来定义.其中伽玛函数通过积分2分布的密度函数的图形(1)设且X1,X2相互独立，则(2)设相互独立,都服从正态

5、分布则分布的可加性2分布的期望和方差(临界值)例1查表求临界值例2设是来自总体的样本,又设试求常数解因为所以且相互独立,于是故应取则有使服从分布.设X～N(0,1),Y～2(n),且X,Y相互独立,服从自由度为n的t分布.记为t～t(n).t分布的定义及概率密度二、t分布称随机变量t分布的密度函数为：查分位数的重要公式查表求下列临界值例3例4设随机变量随机变量均服从且都相互独立,令试求的分布,并确定的值,使解由于故由分布的定义知即服从自由度为4的分布:由三、F分布F分布的定义及概率密度定理证明:例5查表求下列分位数例6例7设总体服

6、从标准正态分布,是来自总体的一个简单随机样本,试问统计量服从何种分布?解因为且与相互独立,所以再由统计量的表达式,即得作业P156练习6.21.2.6.3抽样分布一、一个正态总体的抽样分布二、二个正态总体的抽样分布样本均值样本方差样本修正方差它们的数学期望或方差为一、一个正态总体的抽样分布因此定理或-------(1)-------(2)n取不同值时样本均值的分布n取不同值时的分布推论(1)(2)事实上例1设为的一个样本,求:样本均值的数学期望与方差;解由于样本容量所以于是例2在设计导弹发射装置时,重要事情之一是研究弹着点偏离目标中心

7、的距离的方差.对于一类导弹发射装置,弹着点偏离目标中心的距离服从正态分布这里现在进行了25次发射试验,用记这25次试验中弹着点偏离目标中心的距离的样本修正方差,试求超过50米的概率.解根据题意,有于是于是我们可以以超过的概率断言,超过50米例3从正态总体中抽取容量为10的样本是样本的均值,若未知,计算概率与解由有而故例4从正态总体中抽取容量为16的一个样本,分别为样本均值和样本修正求:的方差及概率解根据题意,得所以若均未知,于是方差.当时,则有二、二个正态总体的抽样分布定理事实上由(2)式事实上由(2)式例5设两个总体与都服从正态分布

8、今从总体与中分别抽得容量的两个相互独立的样本,求解由题设知于是解由题设知例6分别从方差为20与35的正态总体抽取容量为8和10的两个样本，求第一个样本修正方差是第二个样本修正方差的20倍的概率.作业P163练习6.31.