高中数学第二章推理与证明2.1.2演绎推理学案含解析

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1、2．1.2　演绎推理演绎推理看下面两个问题：(1)一切奇数都不能被2整除，(22017＋1)是奇数，所以(22017＋1)不能被2整除；(2)两个平面平行，则其中一个平面内的任意直线必平行于另一个平面，如果直线a是其中一个平面内的一条直线，那么a平行于另一个平面．问题1：这两个问题中的第一句都说的什么？提示：都说的一般原理．问题2：第二句又都说的什么？提示：都说的特殊示例．问题3：第三句呢？提示：由一般原理对特殊示例做出判断．1．演绎推理的概念从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论的推理称为演绎推理．2

2、．三段论“三段论”是演绎推理的一般模式，包括：(1)大前提——已知的一般原理；(2)小前提——所研究的特殊情况；(3)结论——根据一般原理，对特殊情况做出的判断．“三段论”可以表示为：大前提：M是P.小前提：S是M.结论：S是P.演绎推理的三个特点(1)演绎推理的前提是一般性原理，演绎推理所得的结论是蕴含于前提之中的个别、特殊事实，结论完全蕴含于前提之中．(2)在演绎推理中，前提与结论之间存在必然的联系，只要前提是真实的，推理的形式是正确的，那么结论也必定是正确的．因而演绎推理是数学中严格证明的工具．(3)演

3、绎推理是由一般到特殊的推理．10把演绎推理写成三段论的形式　将下列演绎推理写成三段论的形式．(1)一切奇数都不能被2整除，75不能被2整除，所以75是奇数．(2)三角形的内角和为180°，Rt△ABC的内角和为180°.(3)菱形对角线互相平分．(4)通项公式为an＝3n＋2(n≥2)的数列{an}为等差数列．　(1)一切奇数都不能被2整除．(大前提)75不能被2整除．(小前提)75是奇数．(结论)(2)三角形的内角和为180°.(大前提)Rt△ABC是三角形．(小前提)Rt△ABC的内角和为180°.(结论

4、)(3)平行四边形对角线互相平分．(大前提)菱形是平行四边形．(小前提)菱形对角线互相平分．(结论)(4)数列{an}中，如果当n≥2时，an－an－1为常数，则{an}为等差数列．(大前提)通项公式an＝3n＋2，n≥2时，an－an－1＝3n＋2－＝3(常数)．(小前提)通项公式为an＝3n＋2(n≥2)的数列{an}为等差数列．(结论)三段论的推理形式三段论推理是演绎推理的主要模式，推理形式为“如果b⇒c，a⇒b，则a⇒c”．其中，b⇒c为大前提，提供了已知的一般性原理；a⇒b为小前提，提供了一个特殊情

5、况；a⇒c为大前提和小前提联合产生的逻辑结果．把下列推断写成三段论的形式：(1)y＝sinx(x∈R)是周期函数．(2)若两个角是对顶角，则这两个角相等，所以若∠1和∠2是对顶角，则∠1和∠2相等．解：(1)三角函数是周期函数，大前提y＝sinx(x∈R)是三角函数，小前提y＝sinx(x∈R)是周期函数．结论10(2)两个角是对顶角，则这两个角相等，大前提∠1和∠2是对顶角，小前提∠1和∠2相等．结论三段论在证明几何问题中的应用　用三段论证明并指出每一步推理的大、小前提．如右图，在锐角△ABC中，AD，BE

6、是高，D，E为垂足，M为AB的中点．求证：ME＝MD.　∵有一个内角为直角的三角形为直角三角形，……大前提在△ABD中，AD⊥CB，∠ADB＝90°，………………………………小前提∴△ABD为直角三角形．………………………………………………结论同理△ABE也为直角三角形．∵直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，………………大前提M是直角△ABD斜边AB上的中点，DM为中线，………………………………小前提∴DM＝AB.……………………………………………………………………………结论同理EM＝AB.∵和同一条线段相

7、等的两条线段相等，………………………………………………大前提DM＝AB，EM＝AB，……………………………………………………………小前提∴ME＝MD.结论三段论在几何问题中的应用(1)三段论是最重要且最常用的推理表现形式，我们以前学过的平面几何与立体几何的证明，都不自觉地运用了这种推理，只不过在利用该推理时，往往省略了大前提．(2)几何证明问题中，每一步都包含着一般性原理，都可以分析出大前提和小前提，将一般性原理应用于特殊情况，就能得出相应结论．如图，已知在梯形ABCD中，，AB＝CD＝AD，AC和BD是梯形

8、的对角线，求证：AC平分∠BCD，DB平分∠CBA.证明：∵等腰三角形两底角相等，………………………………………………大前提10△DAC是等腰三角形，∠1和∠2是两个底角，………………………………小前提∴∠1＝∠2.结论∵两条平行线被第三条直线截得的内错角相等，………………………………大前提∠1和∠3是平行线AD、BC被AC截得的内错角，………………………………小前提∴∠1＝∠3.结论∵等于同一个角