高中数学推理与证明2.1.2演绎推理学案含解析

《高中数学推理与证明2.1.2演绎推理学案含解析》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、2．1.2　演绎推理演绎推理[提出问题]看下面两个问题：(1)一切奇数都不能被2整除，(22012＋1)是奇数，所以(22012＋1)不能被2整除；(2)两个平面平行，则其中一个平面内的任意直线必平行于另一个平面，如果直线a是其中一个平面内的一条直线，那么a平行于另一个平面．问题1：这两个问题中的第一句都说的是什么？提示：都说的是一般原理．问题2：第二句又说的是什么？提示：都说的是特殊示例．问题3：第三句呢？提示：由一般原理对特殊示例作出判断．[导入新知]1．演绎推理的概念从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论的推理称为演绎推理．2．三段论“三段论”是演绎推理的一

2、般模式，包括：(1)大前提——已知的一般原理；(2)小前提——所研究的特殊情况；(3)结论——根据一般原理，对特殊情况做出的判断．“三段论”可以表示为：大前提：M是P.小前提：S是M.结论：S是P.[化解疑难]演绎推理的三个特点(1)演绎推理的前提是一般性原理，演绎推理所得的结论是蕴涵于前提之中的个别、特殊事实，结论完全蕴涵于前提之中．(2)在演绎推理中，前提与结论之间存在必然的联系，只要前提是真实的，推理的形式是正确的，那么结论也必定是正确的．因而演绎推理是数学中严格证明的工具．10(3)演绎推理是由一般到特殊的推理．把演绎推理写成三段论的形式[例1]　将下列演绎推理

3、写成三段论的形式．(1)一切奇数都不能被2整除，75不能被2整除，所以75是奇数．(2)三角形的内角和为180°，Rt△ABC的内角和为180°.(3)菱形对角线互相平分．(4)通项公式为an＝3n＋2(n≥2)的数列{an}为等差数列．[解]　(1)一切奇数都不能被2整除，(大前提)75不能被2整除，(小前提)75是奇数．(结论)(2)三角形的内角和为180°，(大前提)Rt△ABC是三角形，(小前提)Rt△ABC的内角和为180°.(结论)(3)平行四边形对角线互相平分，(大前提)菱形是平行四边形，(小前提)菱形对角线互相平分．(结论)(4)数列{an}中，如果当n

4、≥2时，an－an－1为常数，则{an}为等差数列，(大前提)通项公式an＝3n＋2，n≥2时，an－an－1＝3n＋2－[3(n－1)＋2]＝3(常数)，(小前提)通项公式为an＝3n＋2(n≥2)的数列{an}为等差数列．(结论)[类题通法]三段论的推理形式三段论推理是演绎推理的主要模式，推理形式为“如果b⇒c，a⇒b，则a⇒c”．其中，b⇒c为大前提，提供了已知的一般性原理；a⇒b为小前提，提供了一个特殊情况；a⇒c为大前提和小前提联合产生的逻辑结果．[活学活用]把下列推断写成三段论的形式：(1)y＝sinx(x∈R)是周期函数．(2)若两个角是对顶角，则这两个角

5、相等，所以若∠1和∠2是对顶角，则∠1和∠2相等．10解：(1)三角函数是周期函数，大前提y＝sinx(x∈R)是三角函数，小前提y＝sinx(x∈R)是周期函数．结论(2)两个角是对顶角，则这两个角相等，大前提∠1和∠2是对顶角，小前提∠1和∠2相等．结论三段论在证明几何问题中的应用[例2]　用三段论证明并指出每一步推理的大、小前提．如图，在锐角△ABC中，AD，BE是高，D，E为垂足，M为AB的中点．求证：ME＝MD.[证明]　∵有一个内角为直角的三角形为直角三角形，(大前提)在△ABD中，AD⊥CB，∠ADB＝90°，(小前提)∴△ABD为直角三角形．(结论)同理

6、△ABE也为直角三角形．∵直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，(大前提)M是直角△ABD斜边AB上的中点，DM为中线，(小前提)∴DM＝AB.(结论)同理EM＝AB.∵和同一条线段相等的两条线段相等，(大前提)DM＝AB，EM＝AB，(小前提)∴ME＝MD.(结论)[类题通法]三段论在几何问题中的应用(1)三段论是最重要且最常用的推理表现形式，我们以前学过的平面几何与立体几何的证明，都不自觉地运用了这种推理，只不过在利用该推理时，往往省略了大前提．(2)几何证明问题中，每一步都包含着一般性原理，都可以分析出大前提和小前提，将一般性原理应用于特殊情况，就能得出相应结论．

7、[活学活用]如图，在空间四边形ABCD中，E，F分别是AB，AD的中点，求证：EF∥平面BCD.10证明：三角形的中位线平行于底边，大前提点E，F分别是AB，AD的中点，小前提所以EF∥BD.结论若平面外一条直线平行于平面内一条直线，则这条直线与此平面平行，大前提EF⊄平面BCD，BD⊂平面BCD，EF∥BD，小前提所以EF∥平面BCD.结论演绎推理在代数中的应用[例3]　已知函数f(x)＝ax＋(a＞1)，求证：函数f(x)在(－1，＋∞)上为增函数．[证明]　如果在(－1，＋∞)上f′(x)>0，那么函数f(x)在(－1，＋∞)上是增