直线的一般式方程(附答案)

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1、直线的一般式方程[学习目标]　1.掌握直线的一般式方程.2.了解关于x、y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0(A、B不同时为0)都表示直线，且直线方程都可以化为Ax＋By＋C＝0的形式.3.会进行直线方程不同形式的转化.知识点　直线的一般式方程1.在平面直角坐标系中，对于任何一条直线，都有一个表示这条直线的关于x，y的二元一次方程；任何关于x，y的二元一次方程都表示一条直线.方程Ax＋By＋C＝0(其中A、B不同时为0)叫做直线方程的一般式.2.对于直线Ax＋By＋C＝0，当B≠0时，其斜率为－，在y轴上的截距为－；当B＝0时，在x轴上的截距为－；当AB≠0时，在两轴上的

2、截距分别为－，－.3.直线一般式方程的结构特征(1)方程是关于x，y的二元一次方程.(2)方程中等号的左侧自左向右一般按x，y，常数的先后顺序排列.(3)x的系数一般不为分数和负数.(4)虽然直线方程的一般式有三个参数，但只需两个独立的条件即可求得直线的方程.思考　(1)当A，B同时为零时，方程Ax＋By＋C＝0表示什么？(2)任何一条直线的一般式方程都能与其他四种形式互化吗？答　(1)当C＝0时，方程对任意的x，y都成立，故方程表示整个坐标平面；当C≠0时，方程无解，方程不表示任何图象.故方程Ax＋By＋C＝0，不一定代表直线，只有当A，B不同时为零时，即A2＋B2≠

3、0时才代表直线.(2)不是.当一般式方程中的B＝0时，直线的斜率不存在，不能化成其他形式；当C＝0时，直线过原点，不能化为截距式.但其他四种形式都可以化为一般式.题型一　直线的一般形式与其他形式的转化例1　(1)下列直线中，斜率为－，且不经过第一象限的是(　　)A.3x＋4y＋7＝0B.4x＋3y＋7＝0C.4x＋3y－42＝0D.3x＋4y－42＝0(2)直线x－5y＋9＝0在x轴上的截距等于(　　)A.B.－5C.D.－3答案　(1)B　(2)D解析　(1)将一般式化为斜截式，斜率为－的有：B、C两项.又y＝－x＋14过点(0,14)即直线过第一象限，所以只有B项正

4、确.(2)令y＝0则x＝－3.跟踪训练1　一条直线经过点A(－2,2)，并且与两坐标轴围成的三角形的面积为1，求此直线方程.解　设所求直线方程为＋＝1，∵点A(－2,2)在直线上，∴－＋＝1.①又∵直线与坐标轴围成的三角形面积为1，∴

5、a

6、·

7、b

8、＝1.②由①②可得或解得或第二个方程组无解.故所求直线方程为＋＝1或＋＝1，即x＋2y－2＝0或2x＋y＋2＝0.题型二　直线方程的应用例2　已知直线l的方程为3x＋4y－12＝0，求满足下列条件的直线l′的方程：(1)过点(－1,3)，且与l平行；(2)过点(－1,3)，且与l垂直.解　方法一　l的方程可化为y＝－x＋3，∴

9、l的斜率为－.(1)∵l′与l平行，∴l′的斜率为－.又∵l′过点(－1,3)，由点斜式知方程为y－3＝－(x＋1)，即3x＋4y－9＝0.(2)∵l′与l垂直，∴l′的斜率为，又l′过点(－1,3)，由点斜式可得方程为y－3＝(x＋1)，即4x－3y＋13＝0.方法二　(1)由l′与l平行，可设l′的方程为3x＋4y＋m＝0.将点(－1,3)代入上式得m＝－9.∴所求直线的方程为3x＋4y－9＝0.(2)由l′与l垂直，可设l′的方程为4x－3y＋n＝0.将(－1,3)代入上式得n＝13.∴所求直线的方程为4x－3y＋13＝0.跟踪训练2　a为何值时，直线(a－1)x

10、－2y＋4＝0与x－ay－1＝0.(1)平行；(2)垂直.解　当a＝0或1时，两直线既不平行，也不垂直；当a≠0且a≠1时，直线(a－1)x－2y＋4＝0的斜率为k1＝，b1＝2；直线x－ay－1＝0的斜率为k2＝，b2＝－.(1)当两直线平行时，由k1＝k2，b1≠b2，得＝，a≠－，解得a＝－1或a＝2.所以当a＝－1或2时，两直线平行.(2)当两直线垂直时，由k1·k2＝－1，即·＝－1，解得a＝.所以当a＝时，两直线垂直.题型三　由含参一般式方程求参数的值或取值范围例3　(1)若方程(m2＋5m＋6)x＋(m2＋3m)y＋1＝0表示一条直线，则实数m满足____

11、__.(2)当实数m为何值时，直线(2m2＋m－3)x＋(m2－m)y＝4m－1.①倾斜角为45°；②在x轴上的截距为1.(1)答案　m≠－3解析　若方程不能表示直线，则m2＋5m＋6＝0且m2＋3m＝0.解方程组得m＝－3，所以m≠－3时，方程表示一条直线.(2)解　①因为已知直线的倾斜角为45°，所以此直线的斜率是1，所以－＝1，所以解得所以m＝－1.②因为已知直线在x轴上的截距为1，令y＝0得x＝，所以＝1，所以解得所以m＝－或m＝2.跟踪训练3　已知直线l：5ax－5y－a＋3＝0.(1)求证：不论a为何值，直线l总经过第一象限；