多自由度系统的振动

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1、4.1多自由度系统的数学描述4.2多自由度系统的固有频率与主振型4.3多自由度固有振动近似解法第4章多自由度系统的振动多自由度系统指的是具有有限个自由度的系统。多自由度振动系统的分析与二自由度振动系统的分析，二者不存在本质的区别，但随着系统自由度数的增加，计算工作大为复杂化。因此，必须采用相应的数学工具。所以，矩阵就成为分析多自由度系统振动问题的有力工具。第4章多自由度系统的振动4.1多自由度系统的数学描述4.1多自由度系统的数学描述4.1.1用柔度系数法和刚度系数法表示的运动方程应用图4-1的

2、系统说明多自由度系统的柔度系数及柔度矩阵。图4-1三自由度振系所谓柔度是指单位外“力”所引起的系统的“位移”。如在图4-1系统中，设在质量m3上沿x3方向作用一单位力，系统相应于它产生的位移为按柔度系数的定义，就有1.柔度矩阵同理，一个n自由度的系统一共有n个独立坐标，对应于每个单位力就有n个柔度系数；总共有n个单位力，故系统总共有n×n个柔度系数rij(i,j=1,2,3,…,n)。它们组成一个柔度矩阵R（4-1）图4-1三自由度振系方程（4-2）称为位移方程。注意：“力”可以是力或是力偶；

3、而“位移”可以是线位移或是角位移，等等。假设在系统的各个坐标上分别作用有力则由叠加原理，系统的各个位移xi可表示为写成矩阵表达式，有（4-2）其中x与f分别代表位移列阵和力列阵：（4-2）例4-1设有集中质量与以及长为与的无重刚杆构成的复合摆，如图4-2，假定摆在其铅垂稳定平衡位置附近作微振动。取质量与的水平位置与作为坐标，求系统的柔度矩阵。图4-2复合摆的微振动解：先仅在m1上作用一单位水平力。由静力平衡条件可得因而有再仅在m2上作用一单位水平力。由静力平衡条件有考虑可得若仅对m1分析，其上也

4、得到一单位水平力故系统的柔度矩阵为2.刚度矩阵所谓刚度是指产生单位“位移”所需的各个外加“力”。例如在图4-1系统中，设有图4-1三自由度振系这时，弹簧k1与k2没有变形，而弹簧k3伸长了单位长度，作用于质量m2上的弹簧力为k3（向右为正），而作用于质量m3上的弹簧力为-k3（向左为负）。所以要维持系统静力平衡，必须在质量m2上外加力-k3（向左为负），并且在质量m3上外加力k3（向右为正）。而在质量m1上则不需加任何外力。类似的，可求得由此得系统的刚度矩阵K为按刚度系数的定义，有对于n自由度

5、系统，设各个质量的位移为xj(j=1,2,3,…,n)则由叠加原理，各个质量mi上所需的外力fi(i=1,2,3,…,n)可表示为或写成矩阵形式，有（4-4）式（4-4）称为力方程。例4-2仍考察例4-1的复合摆，如图4-3。求系统的刚度矩阵。解：先令于是有由下摆的平衡条件，有图4-3复合摆的微振动再由全摆的平衡条件有于是有再令，按类似的做法，可得故系统的刚度矩阵为由例4-1和例4-2，很容易验证柔度矩阵R与刚度矩阵K是互逆的。即当知道了刚度矩阵后，系统的弹性势能可表示为或3.质量矩阵即这儿的

6、mi可以是质量或是转动惯量，而与后者相应的位移就是角位移。根据达朗伯原理，只要在系统中加上惯性力，那么动力学问题就可以按静力学问题来处理。特别当系统进行自由振动时，作用于各个质量上的外加“力”就只有“惯性力”。当系统进行简谐振动时，故有（4-5）式中M称为质量矩阵。对于集中参数系统，其质量矩阵通常是对角阵。当然，质量矩阵并不一定都是对角阵。有例4-3设有图4-4所示系统，在光滑水平面上，由刚杆连接的三个质量m1，m2，m3所组成，其中m1与m2分别用弹簧k1与k2连于固定支点。刚杆本身的质量可略

7、去不计。再设三个质量都只能沿x1，x2，x3方向运动。求系统的质量矩阵。解：由题可知，系统的位移中只有两个是独立的。图4-4弹簧质量系统取作为独立坐标，而系统的另一个坐标为这时，需要将作用于上的惯性力转移到质量与上，可得作用于与上的外加力为故得注，本例中的质量矩阵不是对角阵，而是对称阵。一般情况下，质量矩阵总是对称阵。有mij=mji考虑到系统的动能T，有即有4.运动方程（4-6）从柔度矩阵出发可以得到系统运动微分方程的另一个形式。（4-7）（4-6）与（4-7）式是完全等价的。从系统本身求得

8、刚度矩阵（或柔度矩阵）与质量矩阵后，就可以根据力方程（或位移方程）列出系统自由振动的运动方程例4-4图4-5（a）表示三个质量的小球，固定在一张紧的弦上，各跨距相等，求系统质量在垂直方向的自由振动方程。图4-5微振动系统实例解：根据柔度系数的定义，首先对m1施加垂直的单位力，于是系统产生图4-5（b）所示的变形，这时假定弦的张力T较大而质量振动位移较小，因此振动中弦的张力T保持不变。质量m1的受力平衡方程为由于因此有a21，a31可按图4-5（b）的比例求得所以由于对称关系，当对m3施加一铅垂方