比例法解行程题

《比例法解行程题》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。

1、比例法【例1】（第8届迎春杯决赛试题）小明和小刚进行200米短跑比赛（假定二人的速度均保持不变）。当小刚跑了180米时，小明距离终点还有50米，那么，当小刚到达终点时，小明距离终点还有多少米？【解】当小刚跑了180米时，小明跑了200-50=150米，二人的路程之比为180：150=6：5，小刚到达终点时，由于速度不变，二人的路程比依然为6：5。若设小刚路程200米为6份的话，小明的行程应为5份，则其离终点还有1份距离=米。【练习】小刚与小勇进行50米赛跑，结果：当小刚到达终点时，小勇还落后小刚10米；第二次赛跑，小刚的起跑线退后10米，两人仍按第一次的速度跑，比赛结果将是____解：

2、小刚到达终点时，二人的路程分别为50米和40米，路程之比为5：4。若小刚退后10米，当到达终点时其路程为60米，由于速度不变，从而路程之比也不变，此刻乙跑了60÷5×4=48米，还差2米才到终点，因此还是小刚胜出。【点评】在赛跑问题中，多数时候隐含了时间相等的条件，从而路程之比=速度之比的正比例关系式会得到大量应用。【例2】一辆车从甲地开往乙地.如果车速提高20％，可以比原定时间提前一小时到达；如果以原速行驶240千米后，再将速度提高25％，则可提前40分钟到达.那么甲、乙两地相距多少千米【分析】这是一道“隐性”比例行程题，但其标志很明显——百分数，一般说来凡题目中出现百分比应立即想到

3、将其转化为比例进行研究。例如本题中，车速提高20%意味着原速度与现速度之比为5：6，车速提高25%意即原速度与现速度之比是4:5。【解】按照题中的“；”形成的两部分分别进行分析：车速提高20%，从而速度之比为5：6，则时间之比为6：5，已知提速前后所用时间差为1小时，可见原速度走完全程需要6小时，提速后需要5小时。而在原速行驶240千米后，剩余部分路程提速25%，即速度之比为4:5，则所用时间之比为5：4，而已知提速前后所用时间之差为40分钟，从而不难求剩余路程若按原速度行驶需要时间40×5=200分钟=小时，从而前240千米用时小时，则原速度为千米/小时。从而甲乙两地距离应为千米。【

4、点评】本题虽难度不大，但作为比例解行程的方法十分典型，有必要熟练掌握题目中涉及到的几个模型。这些模型与几何中五大模型的作用类似，会在行程问题中反复出现，且标志明显。模型1：百分比到比例的转化。模型2：提速—少时，由提速或降速所造成的时间差，只产生在提速和降速的路程中。模型3：比差问题，类似和差、和倍、差倍，已知比和差分别求大小数的方法应熟练掌握。【练习】一辆汽车从甲地开往乙地，如果车速提高20%，可以提前1小时到达，如果按原速度行驶一段距离后，再将速度提高30%，也可以提前1小时到达，那么按原速行驶了全程的几分之几？解：车速提高20%，即速度之比为5：6，从而时间比为6：5，已知时间差

5、为1小时，则原用时为6小时。原速行驶一段距离后，再将速度提高30%，仍然提前1小时到达，这个时间差只能发生在提速部分，这段速度之比为10：13，从而时间之比为13：10，不难求原速度行驶用时1÷3×13=小时，从而先行驶的部分用时6-=小时，其占比为÷6=【例1】甲、乙两人分别从A、B两地同时出发，相向而行，在途中C点相遇。如甲的速度增加10％，乙每小时多走300米，还在C相遇；如果甲早出发1小时，乙每小时多走1000米，则仍在C相遇。那么两人相遇时距B多少千米?【分析】此题有个明显的特征，即三种方式最终相遇地点一样，这实际明确告知我们三种方式之下路程之比相同！而题目要求两人相遇时距B

6、多少千米，实际是求乙的路程，若能求得乙的速度和时间则问题可解。【解】按照题中的“；”形成的两部分进行来研究：在甲提速10%，乙提速300米后甲乙相遇地点不变，路程之比没变，可见提速前后两人的速度之比也保持不变。从而若甲提速10%的话，乙提速300米也应为10%，从而不难求得乙的原速度为3千米/小时。甲提前出发1小时，乙提速1000米后，两人依然在C点相遇。换句话说其实就是：乙在提速1000米后比平时少用1个小时到达C点。而乙在提速1千米后，前后速度之比为3：4，则所用时间之比应为4：3，少用的1小时为1份，则乙原用时应为4小时。如此乙的速度和时间都已求得，则其路程为3×4=12千米。即

7、两人相遇时距B12千米。【点评】在本题中，双双提速后速度之比保持不变的关系式是不难发现的。比较难理解的是甲提前1小时出发的意义：由于甲速度未变，从而其到达C点所需的时间是不变的，由此发现乙到达C点实际上是比提速前少用了1小时。此处又是比差模型的典型应用。发现“时间差”其实是个不错的标志物。【例2】甲、乙两人同时地出发，在、两地之间匀速往返行走，甲的速度大于乙的速度，甲每次到达地、地或遇到乙都会调头往回走，除此以外，两人在之间行走方向不会改变，已