根式的运算技巧

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1、根式的运算平方根与立方根一、知识要点1、平方根：⑴、定义：如果x2=a，则x叫做a的平方根，记作“”（a称为被开方数）。⑵、性质：正数的平方根有两个，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根。⑶、算术平方根：正数a的正的平方根叫做a的算术平方根，记作“”。2、立方根：⑴、定义：如果x3=a，则x叫做a的立方根，记作“”（a称为被开方数）。⑵、性质：正数有一个正的立方根；0的立方根是0；负数有一个负的立方根。3、开平方（开立方）：求一个数的平方根（立方根）的运算叫开平方（开立方）。二、规律总结：1、平方根是其本身的数是0；算术平方根是其本身的数是0和1

2、；立方根是其本身的数是0和±1。2、每一个正数都有两个互为相反数的平方根，其中正的那个是算术平方根；任何一个数都有唯一一个立方根，这个立方根的符号与原数相同。3、本身为非负数，即≥0；有意义的条件是a≥0。4、公式：⑴()2=a（a≥0）；⑵=（a取任何数）。5、非负数的重要性质：若几个非负数之和等于0，则每一个非负数都为0（此性质应用很广，务必掌握）。例1求下列各数的平方根和算术平方根（1）；（2）；（3）；⑷例2求下列各式的值（1）；（2）；（3）；（4）.（5），（6），（7）（8）例3、求下列各数的立方根：⑴343；⑵；⑶0.729二、巧用被开方数

3、的非负性求值.大家知道，当a≥0时，a的平方根是±，即a是非负数.例4、若求yx的立方根.练习：已知求的值.三、巧用正数的两平方根是互为相反数求值.我们知道，当a≥0时，a的平方根是±，而例5、已知：一个正数的平方根是2a-1与2-a，求a的平方的相反数的立方根.练习：若和是数的平方根，求的值.四、巧解方程例6、解方程（1）（x+1）2=36（2）27(x+1)3=64五、巧用算术平方根的最小值求值.我们已经知道,即a=0时其值最小,换句话说的最小值是零.例4、已知：y=,当a、b取不同的值时，y也有不同的值.当y最小时,求ba的非算术平方根.练习：1、若

4、一个数的平方根是，则这个数的立方根是（）．A．2B．2C．4D．42、144的算术平方根是，的平方根是；3、若的平方根是和，则=．4、=，的立方根是；5、7的平方根为，=；6、一个数的平方是9，则这个数是，一个数的立方根是1，则这个数是；7、平方数是它本身的数是；平方数是它的相反数的数是；8、当x=时，有意义；当x=时，有意义；9、若，则x=；若，则n=；10、若，则x=；若，则x；11、的整数部分为a,小数部分为b,则a=____,b=____12、解方程：（2）　（3）（4）13、已知，求xyz的值。14、若，求的值．15、已知：ｘ－2的平方根是±2,

5、　2ｘ+ｙ+7的立方根是3，求ｘ2+ｙ2的平方根．16、若，求xy的值。二次根式一、知识点1.二次根式：式子（≥0）叫做二次根式。2.最简二次根式：必须同时满足下列条件：⑴被开方数中不含开方开的尽的因数或因式；⑵被开方数中不含分母；⑶分母中不含根式。3.同类二次根式：二次根式化成最简二次根式后，若被开方数相同，则这几个二次根式就是同类二次根式。4.二次根式的性质：（＞0）（＜0）0（=0）；（1）（）2=（≥0）；（2）5.二次根式的运算：⑴二次根式的加减运算：先把二次根式化成最简二次根式，然后合并同类二次根式即可。⑵二次根式的乘除运算：①=（≥0,b≥0

6、）；②【例题讲解】一、利用二次根式的双重非负性来解题（（a≥0），即一个非负数的算术平方根是一个非负数。）例1：x取何值时，下列各式在实数范围内有意义。（1）（2）（3）(4).例2：若，则=_____________；若，则【基础训练】1、下列各式中一定是二次根式的是（）。A、；B、；C、；D、2、若，则x的取值范围是3、若，则x的取值范围是。4、若是一个正整数，则正整数m的最小值是________．5、设m、n满足，则=。6、若三角形的三边a、b、c满足=0，则第三边c的取值范围是7、若，且时，则（）A、　B、C、D、二、利用二次根式的性质=

7、a

8、=(

9、即一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值)来解题【例题讲解】例1：已知＝－x，则（　　）A.x≤0　　　B.x≤－3　　　Ｃ.x≥－3　　　D.－3≤x≤0例2：化简的结果为（）A、；B、；C、D、【基础训练】1、已知a

10、1-x

11、-的结果为2x-5则（）A、x为任意实数B、1≤x≤4C、x≥1D、x≤43、已知a，b，c为三角形的三边，则=4、化简的结果是（）A．B．C．D．5、已知：=1，则的取值范围是（）。A、；B、；C、或1；D、三、二次根式的化简与计算（主要依据是二次根式的性质：（）

12、2=a（a≥0），即以及混合运算法则）【例题讲解】（一）化简与求值