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《数论中的基础概念》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。
1、1群、环、域概念A1：加法的封闭性：如果a和b属于G，则a+b也属于GA2：加法结合律：对G中的任意元素a,b,c,a+(b+c)=(a+b)+cA3：加法单位元：G中存在一个元素0，使得对于G中的任意元素a，有a+0=0+aA4：加法逆元：对于G中的任意元素a，G中一定存在一个元素a,使得a+(-a)=(-a)+a=0A5：加法交换律：对于G中的任意元素a和b，有a+b=b+aM1：乘法的封闭性：如果a和b属于G，则ab也属于GM2：乘法结合律：对于G中的任意元素a,b,c有a(bc)=(ab)cM3：乘法分配了：对于G中的任意
2、元素a,b,c，有a(b+c)=ab+ac和(a+b)c=ac+bcM4：乘法交换律：对于G中的任意元素a,b有ab=baM5：乘法单位元：对于G中的任意元素a,在G中存在一个元素1，使得a1=1a=aM6：无零因子：对于G中的元素a,b，若ab=0，则必有a=0或b=0M7：乘法逆元：如果a属于G，且a不为0,则G中存在一个元素，使得满足A1---A4称为群满足A1---A5称为可交换群满足A1---M3称为环满足A1---M4称为可交换换满足A1---M6称为整环满足A1---M7称为域2循环群：如果群中的每一个元素都是一个固
3、定元素的幂（k为整数），则称群G是循环群。我们认为元素a生成了群G，或者说a是群G的生成元。循环群总是交换群3模运算则称整数a和b是模n同余的，可以表示为：若b整除a。则用符号：表示。其性质可表示如下：①如果a
4、1,那么a=-1或1。②如果a
5、b，且b
6、a，那么a=b或a=-b③任何不等于零的数整除0④如果b
7、g且b
8、h，那么对任意整数m,n都有b
9、（mg+nh）证明性质④：如果b
10、g，那么,g为整数。如果b
11、h，那么，h为整数。于是：因此b整除mg+nh.同余的性质：1如果n
12、（a-b），，那么2隐含3，隐含性质2和性质3证明是
13、我自己证的。性质1证明：如果，那么，为整数。使得，则有即得。性质2证明：由得：即，满足……①由①可推出,由性质1可知成立则得证。性质3证明：由性质2证明过程知：满足：……②由②可以推出，由性质1可知模算术运算有如下性质：123性质2性质2是我自己证明的。性质1证明：设，则，使得那么有：即得证。性质2证明：由性质1证明过程知使得那么有：性质3证明：前半段证明如上，定义比n小的非负整数集合为。这个集合称为剩余类集，或模n的剩余类。中每一个整数都代表一个剩余类，我们可以将模n的剩余类表示为：，其中。如果，那么若a与n互素，如果，那么中整
14、数模运算性质：交换律：结合律：分配律：单位元：加法逆元（-w）：对于中的任意w，存在一个z使得以下部分摘自刘嘉勇编P231加法逆元：对每一个，存在一个u,使得w+u=0modn，记为u=-w,显然在模n下，-w=n-w。如果，则有，特例，更一般式：，特例：其中f(x)为任意给定的一个整系数多项式以上部分摘自刘嘉勇P231最大公约数：欧几里得算法：对于任意非负整数a和任意正整数b有算法描述如下：设整数（1）；（2）如果Y=0，返回X=gcd(a,b)，否则继续；（3）R=XmodY（4）；（5）;（6）返回（2）扩展的欧几里得算法描
15、述如下：ExtendedEUCLID(a,n)（1）；；（2）如果，返回，无逆元；否则继续；（3）如果，返回；；（4）；（5）；（6）；（7）；（8）返回（2）。有限域GF(P):阶为的有限域一般记为，GF代表伽罗瓦域。给定一个素数p，元素个数为p的有限域GF(p)被定义为整数的集合，其运算为模p的算术运算。乘法逆元：任意，，存在使得求最大公因式：我们可以通过定义最大公因式来扩展域上的多项式和整数运算之间的类比。如果：1.c(x)能同时整除a(x)和b(x)。2.a(x)和b(x)的任何因式都是c(x)的因式。就称多项式c(x)为
16、a(x)和b(x)的最大公因式。此定义等价定义与：gcd[a(x),b(x)]是能同时整数a(x)和b(x)的多项式中次数最高的一个。多项式模运算：如果定义了合适的运算，那么每一个这样的集合S都是一个有限域。定义由如下几条组成：1.该运算遵循基本代数规则中的普通多项式运算规则2.系数运算以P为模，即遵循有限域上的运算规则3.如果乘法运算结果是次数大于n-1的多项式，那么必须将其除以某个次数为n的既约多项式m(x)并取余式。对于多项式f(x)，这个余式可表示为r(x)=f(x)modm(x)素数任意整数都可以惟一地因子分解为：，其中
17、均为素数，且指数皆为正整数。费马定理：p是素数，a是与p互素的正整数，则或者显然有欧拉函数：欧拉函数是一个定义在正整数集上的函数，的值等于小于n且与n互素的正整数的个数。欧拉函数有性质如下：1.如果n是素数，则2.如果，p和q是素数，且p不等于q则
