数学竞赛讲座

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1、高等数学竞赛讲座(笔记)2009年9月第一讲：极限1、数列极限：方法：重要极限：，，……收敛准则：夹逼定理：若且，则；单调有界定理：单调有界数列必有极限；定积分定义：要求：在上连续，则；级数收敛必要条件：若收敛，则；构造函数法：记或，通过讨论的极限，得到。（注意：若，则，反之不亦，比如取，，但不存在。）注：1、设存在，则也存在，且；（反之不亦）2、若且存在，则也存在，且；举例分析：例1：（2006-1）设数列满足，，（1）证明存在，并求其值；（2）求解：（1）由知；31设，则，由归纳法得单调减少且有下界，故存在；不妨设，由得，故，即；（2）考虑故.例2：设，其中，

2、求解：设，则，由，得。例3：求解：由，及，得例4：求解：取，，求导：故，即单调增加，因此，由，得，同理由得，31从而。例5：（1）证明若，则；若，且，则；（2）求.解：（1）记，则；，由得；记，则；由得；（2）记，，.例6：（1）求解：由，注意到函数在上连续，存在，及，，得31。（2）设，求解：，记，注意到函数在上连续，存在，故。例7：（1）设，，证明存在并求其值解：，，即，由归纳法得；又，，即（或：，表明与同号，又，）得，单调减少有下界，故存在；记，由得，即或，由得。解二：，，即，由归纳法得；假设存在，并记，由得，即或31，由得，，由准则得。比如：设，，证明存在

3、并求其值假设存在，并记，由得，即，由，得；，由准则得。注：对假设的证明很重要：取，而由却得即，显然错误。（2）设函数列由，确定，证明存在并求其值。证明：当时，，则；当时，，由归纳法知；（注：由假设，即，得）又，，，31由归纳法知，，即，，由准则得、均收敛，不妨设，，则由，得，，两式相减：而，，故，不妨设，由，得，且由得，因此。解法二：假设存在并设，且由得，当时，，由归纳法知；由因此。例8：求（1）；（2）；（3）解：（1）取，，故收敛，因此；（2）取，，故收敛，因此。31(3)取，，；当且时，记，令，。例9：（2006-2，3）求解：记，，故本题用到：若，，则例1

4、0（北京-2007）设正项级数收敛于和，求（1）；（2）。解：（1）；（2），记，则，31即。附：还有一类题要注意：设其中，满足，则。（可用“”证明）比如：（1）；（2）；（3）：由得；（4）：当充分大时，，，得。1、函数极限方法：洛必塔法则：若为或型，且存在，则；等价无穷小替代：当时，～～～～～～，～，～，～；31重要极限：，其它：导数定义，微分中值定理，泰勒公式，积分中值定理：设函数在上连续，在上可积且恒不变号，则在上至少存在一点，使；特别取，则有。注：重视：，比如：：，，故不存在；又，。举例分析：例11：（向量极限）设，，，求解例12：（1）当时，与为等价无

5、穷小，则常数。由得；（2）已知，则。；（3）。31，故。（4）。，，故不存在。（5）设，，。（6）。注意1：下列两种解法中哪个正确？（A）；（B）；方法（A）是错误的：虽然，但，不能保证，如果？例13：求解：（）31例14：（1）设函数且满足，，求解：（2）曲线与在原点相切，则。由，例15：求解：例16：（2008-北京）设函数具有二阶连续导数，且，，为曲线在点处切线在轴上的截距，试求解：曲线在点处切线为，它在轴上的截距为，因此；31，，即；例17：设函数在的某一邻域内具有一阶连续导数，且，，求解：，，由拉格朗日中值定理知：，使，因此注意到：当时，及当时，，，由夹

6、逼定理得，即，又于是例18：设函数连续且，证明证明：记，其中，为正整数，31。注：本题用到周期函数的定积分的两个性质由此可得：例19：设函数连续，且，，求解：例20：（1）设在上连续，则。解：，；（2）设函数连续，且存在，求，其中。[解]，若，则上式；若，则上式。31（3）设函数在上连续且非负，证明。证明：记，，若，则当充分大时，，，其中，由，得。若，则取当充分大时，讨论；若，则取当充分大时，讨论。（4）设函数在处可微，且，求。解：。其中：，：。（5）设函数连续，且，，其中，求。解：31，由得附：求渐近线：若，则为曲线的铅直渐近线；若，则为曲线的水平渐近线；若，且

7、，则为曲线的斜渐近线。注：已知，则，例21：讨论的图形的斜渐近线：解：；，故直线为曲线的斜渐近线。例22：设函数由方程确定，且，试求常数：解：本题的实质是求该曲线的斜渐近线。令，即，且，将代入方程得，即31，式子两边取极限得，即；又，令，即，且，将代入方程得，即，式子两边取极限得，即。（该曲线的斜渐近线为）1、二重极限：强调：二重极限要求“以任何方式同时”进行；的存在性与二次极限、的存在性无关：取（），但、均不存在，（、均不存在），反例更多。例23：（1）求解：；（2）求解：令，则；注：时，是变量，也在变化，不能把看成常量；31比如：不存在。（3）求解：因为，，不

8、妨设，，由