高中数学：相似三角形的判定及有关性质

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1、1．平行线等分线段定理定理　如果一组平行线在一条直线上截得的线段，那么在其他直线上截得的线段也．推论1经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必．推论2经过梯形一腰的中点，且与底边平行的直线．2．平行线分线段成比例定理定理　三条平行线截两条直线，所得的成比例．推论　平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)所得的成比例．相等相等平分第三边平分另一腰对应线段对应线段【思考探究】使用平行截割定理时要注意什么？提示：要注意对应线段、对应边对应成比例，不要乱对应顺序．3．相似三角形的判定及性质(1)相似三角形的判定定义，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形．相似三角形对应边的比值叫做相

2、似比(或相似系数)．预备定理　平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似．判定定理1对于任意两个三角形，如果一个三角形的两个角与另一个三角形的对应相等，那么这两个三角形相似．简述为：两角对应相等，两三角形相似．对应角相等两个角判定定理2对于任意两个三角形，如果一个三角形的两边和另一个三角形的两边对应，并且夹角相等，那么这两个三角形相似．简述为：两边对应且夹角相等，两三角形相似．判定定理3对于任意两个三角形，如果一个三角形的三条边和另一个三角形的三条边对应，那么这两个三角形相似．简述为：三边对应，两三角形相似．(2)两个直角三角形相似的判定定理①

3、如果两个直角三角形的一个锐角对应，那么它们相似．②如果两个直角三角形的两条直角边对应，那么它们相似．成比例成比例成比例成比例相等成比例③如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应，那么这两个直角三角形相似．(3)相似三角形的性质性质定理①相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于；②相似三角形周长的比等于；③相似三角形面积的比等于；④相似三角形外接圆(或内切圆)的直径比、周长比等于相似比，外接圆(或内切圆)的面积比等于．4．直角三角形的射影定理直角三角形斜边上的高是两直角边在斜边上射影的；两直角边分别是它们在斜边上射影与斜边的.成比例相

4、似比相似比相似比的平方相似比的平方比例中项比例中项1．充分利用已知条件的比例作出相应的平行线段是关键．2．有关两线段的比值的问题，除了应用平行线分线段成比例定理外，也可利用相似三角形的判定和性质求解．3．注意观察图形特点，巧添辅助线．【变式训练】1.如图，已知D为△ABC中AC边的中点，AE∥BC，ED交AB于G，交BC延长线于F，若BG∶GA＝3∶1，BC＝8，求AE的长．1．相似三角形的判定主要是依据三个判定定理，结合定理创造条件建立对应边或对应角的关系．2．相似三角形的性质应用可用来考查与相似三角形相关的元素，如两个三角形的高、周长、角平分线、中线、面积、外接圆的直径、内切圆的面

5、积等．如图，已知▱ABCD中，G是DC延长线上一点，AG分别交BD和BC于E、F两点，证明：AF·AD＝AG·BF.【变式训练】2.已知△ABC中，BF⊥AC于点F，CE⊥AB于点E，BF和CE相交于点P，求证：(1)△BPE∽△CPF；(2)△EFP∽△BCP.1．在使用直角三角形射影定理时，要学会将“乘积式”转化为相似三角形中的“比例式”．2．证题时，要注意作垂线构造直角三角形是解直角三角形时常用的方法．【变式训练】3.一直角三角形的两条直角边之比是1∶3，则它们在斜边上的射影的比是________．答案：1∶9