二次函数与实际问题 利润问题

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1、22.3实际问题与二次函数第2课时用二次函数解决利润等代数问题锡盟二中教师：张志强教学目标知识技能能够理解生活中文字表达与数学语言之间的关系，建立数学模型。利用二次函数y＝ax2＋bx＋c图象的性质解决简单的实际问题，能理解函数图象的顶点，端点与最值的关系，并能运用这些关系解决实际问题。数学思考和问题解决1.能将实际问题转化为二次函数问题，进而建立数学模型解决，从中体会数学建模的思想和数学来源于生活又服务于生活。2.体验有文字语言到数学语言的过程，培养学生的变通能力并提高分析解决问题的能力。3.利用二次函数的图像

2、性质解决实际问题，体会数形结合的思想。情感态度通过实际问题和二次函数的联系，体验二次函数知识的实际应用价值，感受数学与人类生活的密切联系，培养用数学知识解决实际问题的意识和学有所成的成就感，了解数学对促进社会进步的发展所起的作用。重点难点重点把实际问题中的最值问题转化为二次函数的最值问题。难点1.读懂题意，找出相关的数量关系，正确构建数学模型。2.理解和应用函数图象的顶点、端点与最值的关系。教学设计一、引入新课1.函数y=a(x-h)2+k中，顶点坐标是。2.二次函数y=ax2+bx+c，顶点坐标是。当a>0时，

3、X=时，函数有最值，是；当a<0时，X=时，函数有最值，是。二、新课教学探究2：某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件．市场调查反映：如调整价格，每涨价1元，每星期要少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出20件．已知商品的进价为每件40元，如何定价才能使利润最大？教师引导学生阅读问题，理清自变量和变量．在这个探究中，某商品调整，销量会随之变化．调整的价格包括涨价和降价两种情况．（1）我们先看涨价的情况．设每件涨价x元，每星期则少卖l0x件，实际卖出(300－l0x)件，销售额为(60+x)(300－

4、l0x)元，买进商品需付40(300－10x)元．因此，所得利润y＝(60+x)(300－l0x)一40(300－l0x)，即y＝－l0x2+100x+6000．列出函数解析式后，教师引导学生怎样确定x的取值范围呢？由300－l0x≥0，得x≤30．再由x≥0，得0≤x≤30．根据上面的函数，可知：当x＝5时，y最大，也就是说，在涨价的情况下，涨价5元，即定价65元时，利润最大，最大利润是6250元．（2）我们再看降价的情况．设每件降价x元，每星期则多卖20x件，实际卖出(300＋20x)件，销售额为(60－x)

5、(300＋20x)元，买进商品需付40(300＋20x)元．因此，所得利润y＝(60－x)(300＋20x)－40(300＋20x)，即y＝－20x2＋100x＋6000．怎样确定x的取值范围呢？由降价后的定价(60－x)元，不高于现价60元，不低于进价40元可得0≤x≤20．当x＝2.5时，y最大，也就是说，在降价的情况下，降价2.5元，即定价57.5元时，利润最大，最大利润是6125元．由（1）（2）的讨论及现在的销售状况，你知道应如何定价能使利润最大了吗？学生最后的出答案：综合涨价和降价两种情况及现在的销售

6、状况可知，定价65元时，利润最大．方法2：当出现形如y=a(x-x1)(x-x2)两根式的二次函数时，对称轴可以用来求，然后代入解析式求最值，但是要注意自变量的取值范围.三、巩固练习1．某商场购进一批单价为16元的日用品，经试销发现，若按每件20元的价格销售时，每月能卖360件，若按每件25元的价格销售时，每月能卖210件，假定每月销售件数y（件）是价格x（元/件）的一次函数，则y与x之间的关系式是，销售所获得的利润为w（元）与价格x（元/件）的关系式是．2．某商店销售一种商品，每件的进价为2.50元，根据市场调

7、查，销售量与销售单价满足如下关系：在一段时间内，单价是13.50元时，销售量为500件，而单价每降低1元，就可以多售出200件.设每件商品降价x元，总利润为y元，请你写出y与x的函数关系式，并分析，当销售单价为多少元时，获利最大，最大利润是多少？参考答案：1．y＝－30x＋960，w＝(x－16)(－30x＋960)2．y＝(13.5－x－2.5)(500＋200x)＝－200x2＋1700x＋5500，顶点坐标为（4.25，9112.5），即当每件商品降价4.25元，即售价为13.5－4.25＝9.25时，可取

8、得最大利润9112.5元．四、课堂小结今天你学习了什么？有什么收获？五、布置作业习题22.3第8题．六、板书设计用二次函数解决利润等代数问题问题2：设利润为w元方法1·····解：设定价为x元，利润为w元·······方法2·····答······问题3：售价数量603001↑10↓0答······变式1：售价数量603001↓20↑变式2：售价数量603002↑10↓数