弧长及扇形的面积公式

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1、九年级数学科导学案课题：3.9.弧长及扇形的面积主备：审核：九年级备课组学生组名：班级：姓名：学习目标：1．经历探索弧长计算公式及扇形面积计算公式的过程.培养学生的探索能力.2．理解弧长计算公式及扇形面积计算公式，并会应用公式解决问题．训练学生的数学应用能力.3.使学生了解计算公式的同时，体会公式的变式，使学生养成独立思考、合作交流的良好学习习惯,形成良好的数学品质.教学重点和难点：重点：会利用弧长及扇形面积公式解决问题．难点：探索弧长及扇形面积计算公式；利用公式解决问题．教学过程：一、自主学习1.已知⊙O的半径为R，⊙O的周长是多少？⊙O的面积是多少

2、？（若圆的半径为R，则周长l＝2πR，面积S＝πR2）;2.什么叫圆心角？圆的圆心角多少度？（顶点在圆心，两边分别与圆有一个交点的角叫圆心角，圆的圆心角是360°）．二、合作探究探究活动1：弧长的计算公式如图，某传送带的一个转动轮的半径为10cm．(1)转动轮转一周，传送带上的物品A被传送多少厘米?(2)转动轮转1°，传送带上的物品A被传送多少厘米?(3)转动轮转n°，传送带上的物品A被传送多少厘米?解：(1)转动轮转一周，传送带上的物品应被传送一个圆的周长.所以，传送带上的物品A被传送2π×10＝20πcm．(2)因为圆的周长对应360°的圆心角，所

3、以转动轮转1°，传送带上的物品A被传送圆周长的.所以，传送带上的物品A被传送cm．(3)转动轮转n°，传送带上的物品A被传送转l°时传送距离的n倍．所以，传送带上的物品A被传送n×cm．根据上面的计算，你能探讨出在半径为R的圆中，n°的圆心角所对的弧长的计算公式吗?请大家互相交流．学生讨论交流,各抒己见.然后总结得出：360°的圆心角对应圆周长为2πR，那么1°的圆心角对应的弧长为，n°的圆心角对应的弧长应为1°的圆心角对应的弧长的n倍，即n×．也就是，在半径为R的圆中，n°的圆心角所对的弧长(arclength)的计算公式为：.我们发现，弧长公式与半

4、径R、圆心角n有着密切的关系.现在，你能解释一下这节课开头关于“200米起跑位置不同”的原因吗？(学生讨论交流,然后尝试回答).因为处于外跑道同学所在圆的半径大，若在同一起点，则外跑道学生所跑的“弧长”大于内跑道学生所跑的“弧长”，因此，处于外跑道的学生起点要比内跑道学生的起点靠前.下面我们来看弧长计算公式的运用：(知道其中两个变量求第三个变量)例1制作弯形管道时，需要先按中心线计算“展直长度”再下料，试计算下图中管道的展直长度，即弧AB的长(结果精确到0．1mm)．（4分钟时间思考并板书）解：∵R＝40mm，n=110°．∴弧AB的长l=πR=×40

5、π≈76．8mm．因此，管道的展直长度约为76．8mm．巩固训练一：若圆的半径为6cm，长为8π的弧长所对的圆心角为_______度.探究活动2：扇形面积计算公式在一块空旷的草地上有一根柱子，柱子上拴着一条长3m的绳子，绳子的另一端拴着一只狗．(1)这只狗的最大活动区域有多大？(2)如果这只狗只能绕柱子转过n°角，那么它的最大活动区域有多大?解：(1)如图(1)，这只狗的最大活动区域是圆的面积，即9πm2.(2)如图(2)，狗的活动区域是扇形，扇形是圆的一部分，360°的圆心角对应的圆面积是9πm2，1°的圆心角对应圆面积的，即×9π=，n°的圆心角对

6、应的圆面积为n×=．由此实际问题，你能总结扇形的面积公式吗？学生讨论交流，总结出下面的结论：如果圆的半径为R，则圆的面积为πR2，1°的圆心角对应的扇形面积为，n°的圆心角对应的扇形面积为n·=．因此扇形面积的计算公式为：S扇形=πR2，其中R为扇形的半径，n为圆心角．下面我们就来利用扇形的面积计算公式解决一些简单的问题.例2扇形AOB的半径为12cm，∠AOB＝120°，求弧AB的长(结果精确到0.1cm)和扇形AOB的面积(结果精确到0.1cm2)（4分钟时间思考并板书）解：弧AB的长l=π×12=8π≈25.1cm：S扇形=π×122=48π≈1

7、50.7cm2．因此，弧AB的长约为25.1cm，扇形AOB的面积约为150.7cm2．巩固训练二：（小组展示）如图，纸扇的最大张角为120°，尺寸如图所示，制作这样的纸扇至少要多少平方厘米的纸？（纸扇有两面，结果用π表示）探究活动3：扇形面积计算公式上面我们已经探讨了弧长及扇形面积的计算公式，在半径为R的圆中，n°的圆心角所对的弧长的计算公式为l＝πR，n°的圆心角的扇形面积公式为S扇形＝πR2，在这两个公式中，弧长和扇形面积都和圆心角n和半径R，因此，l和S之间有什么关系吗?换句话说，能否用弧长表示扇形面积呢？请大家互相交流．（学生对比弧长及扇形面

8、积公式进行探究、交流）（4分钟时间思考并板书）解∵l=πR，S扇形=πR2，∴πR2=R·πR