2013高一数学必修1课件：2.4.1函数的零点(新人教B版)

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1、2.4函数与方程把握热点考向应用创新演练第二章函数考点一考点二考点三2.4.1函数的零点理解教材新知给定一元二次函数y＝x2＋2x－3，其图象如下：问题1：方程x2＋2x－3＝0的根是什么？提示：方程的根为－3,1.问题2：函数的图象与x轴的交点是什么？提示：交点为(－3,0)，(1,0)．问题3：方程的根与交点的横坐标有什么关系？提示：相等．问题4：通过图象观察，在每一个交点附近，两侧函数值符号有什么特点？提示：在每一交点两侧函数值符号异号．1．函数的零点：如果函数y＝f(x)在实数α处的值，即，则叫做这个函数的零点.在坐标系中表示图象与x轴的公共点是．等于零f(α)＝0α(

2、α，0)2．二次函数的零点与相应二次方程根的关系判别式ΔΔ>0Δ＝0Δ<0二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图像(1)并非所有的函数都有零点，若函数y＝f(x)有零点，则零点一定在函数定义域内．(2)函数的零点其实就是函数y＝f(x)图像与x轴交点的横坐标，函数的零点不是点，而是一个实数．(3)若c是函数y＝f(x)的零点，则一定有f(c)＝0.[例1]求下列函数的零点：(1)f(x)＝－x2－2x＋3；(2)f(x)＝x4－1.[思路点拨]根据函数零点与相应方程的根之间的关系知，求函数的零点就是求相应方程的根．[精解详析](1)∵f(x)＝－x2－2x＋3＝－(x＋3)

3、(x－1)，∴方程－x2－2x＋3＝0的两根分别是－3和1.故函数的零点是－3,1.(2)∵f(x)＝x4－1＝(x2＋1)(x＋1)(x－1)，∴方程x4－1＝0的实数根是－1或1.故函数的零点是－1,1.[一点通]函数零点的求法：(1)代数法：求方程f(x)＝0的实数根；(2)几何法：对于不能用求根公式求解的方程f(x)＝0，可以将它与函数y＝f(x)的图象联系起来，图象与x轴交点的横坐标即为函数的零点．1．若f(x)＝ax－b(b≠0)有一个零点3，则函数g(x)＝bx2＋3ax的零点是________．解析：∵f(x)＝ax－b的零点是3，∴f(3)＝0，即3a－b＝0

4、，也就是b＝3a.∴g(x)＝bx2＋3ax＝bx2＋bx＝bx(x＋1)．∴g(x)的零点为－1,0.答案：－1,02．求下列函数的零点：(1)f(x)＝x3－x2＋x－1；(2)f(x)＝x4－2x2－3.[思路点拨]由y＝f(x)与x轴公共点的个数或方程f(x)＝0的实数根的个数来判断函数零点的个数．[一点通]判断函数零点个数的主要方法：(1)转化为解相应方程，有几个根就有几个零点．(2)画出函数y＝f(x)的图象，判定它与x轴的交点个数，从而判定零点的个数．(3)结合单调性，利用f(a)·f(b)的符号，可判定y＝f(x)在(a，b)上零点的个数．(4)转化成两个函数图

5、象的交点问题．答案：C解：(1)由f(x)＝0，得x2－7x＋12＝0.Δ＝49－4×12＝1>0，∴方程x2－7x＋12＝0有两个不相等的实数根3,4.∴函数f(x)有两个零点，分别是3,4.5．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c，且ac<0，判断函数零点的个数．解：法一：∵ac<0，∴Δ＝b2－4ac>0.∴方程ax2＋bx＋c＝0有两个不相等的实数根，所以二次函数y＝ax2＋bx＋c有两个零点．[例3](10分)已知关于x的二次方程ax2－2(a＋1)x＋a－1＝0有两个根，且一个根大于2，另一个根小于2，试求实数a的取值范围．[思路点拨]根据二次方程根的分布画出相应的函数

6、图象，数形结合建立关于a的不等式组．[一点通]解决此类问题可设出方程对应的函数，根据函数的零点所在的区间分析区间端点函数值的符号，建立不等式，使问题得解．当函数解析式中含有参数时，要注意分类讨论．6．若f(x)＝x＋b的零点在区间(0,1)内，则b的取值范围为________．答案：(－1,0)7．若函数y＝ax2－x－1只有一个零点，求实数a的取值范围．（1）函数是否有零点是针对相应方程是否有实数根而言的，若方程没有实数根，则函数没有零点．反映在图象上就是函数图象与x轴无交点，如函数y＝1，y＝x2＋1就没有零点．（2）判断函数的零点，可利用的结论：若函数y＝f(x)在闭区间

7、[a，b]上的图象是连续曲线，并且在区间端点的函数值符号相反，即f(a)·f(b)<0，则在区间(a，b)内，函数y＝f(x)至少有一个零点，即相应的方程f(x)＝0在区间(a，b)内至少有一个实数解．点击此图片进入创新演练