洛必达法则解决问题

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1、洛必达法则简介：法则1若函数f(x)和g(x)满足下列条件：(1)及；　　(2)在点a的去心邻域内，f(x)与g(x)可导且g'(x)≠0；　　(3)，那么=。法则2若函数f(x)和g(x)满足下列条件：(1)及；　　(2)，f(x)和g(x)在与上可导，且g'(x)≠0；　　(3)，那么=。法则3若函数f(x)和g(x)满足下列条件：(1)及；　　(2)在点a的去心邻域内，f(x)与g(x)可导且g'(x)≠0；　　(3)，那么=。利用洛必达法则求未定式的极限是微分学中的重点之一，在解题中应注意：将上面公式中的x→a，x→∞换成x→+∞，x→-∞，，洛必达

2、法则也成立。洛必达法则可处理，，，，，，型。在着手求极限以前，首先要检查是否满足，，，，，，型定式，否则滥用洛必达法则会出错。当不满足三个前提条件时，就不能用洛必达法则，这时称洛必达法则不适用，应从另外途径求极限。若条件符合，洛必达法则可连续多次使用，直到求出极限为止。二．高考题处理1.(2010年全国新课标理)设函数。（1）若，求的单调区间；（2）若当时，求的取值范围原解：（1）时，，.当时，；当时，.故在单调减少，在单调增加（II）由（I）知，当且仅当时等号成立.故，从而当，即时，，而，于是当时，.由可得.从而当时，，故当时，，而，于是当时，.综合得的取

3、值范围为原解在处理第（II）时较难想到，现利用洛必达法则处理如下：另解:（II）当时，，对任意实数a,均在；当时，等价于令(x>0),则，令，则，，知在上为增函数，；知在上为增函数，；，g(x)在上为增函数。由洛必达法则知，，故综上，知a的取值范围为。2．（2011年全国新课标理）已知函数，曲线在点处的切线方程为。（Ⅰ）求、的值；（Ⅱ）如果当，且时，，求的取值范围。原解：（Ⅰ）由于直线的斜率为，且过点，故即解得，。（Ⅱ）由（Ⅰ）知，所以。考虑函数，则。（i）设，由知，当时，，h（x）递减。而故当时，，可得；当x（1，+）时，h（x）<0，可得h（x）>0从而

4、当x>0,且x1时，f（x）-（+）>0，即f（x）>+.（ii）设00,故（x）>0,而h（1）=0，故当x（1，）时，h（x）>0，可得h（x）<0,与题设矛盾。（iii）设k1.此时，（x）>0,而h（1）=0，故当x（1，+）时，h（x）>0，可得h（x）<0,与题设矛盾。综合得，k的取值范围为（-，0]原解在处理第（II）时非常难想到，现利用洛必达法则处理如下：另解：（II）由题设可得，当时，k<恒成立。令g(x)=(),则，再令()，则，，易知在上为增函

5、数，且；故当时，，当x（1，+）时，；在上为减函数，在上为增函数；故>=0在上为增函数=0当时，，当x（1，+）时，当时，，当x（1，+）时，在上为减函数，在上为增函数由洛必达法则知，即k的取值范围为（-，0]规律总结：对恒成立问题中的求参数取值范围，参数与变量分离较易理解，但有些题中的求分离出来的函数式的最值有点麻烦，利用洛必达法则可以较好的处理它的最值，是一种值得借鉴的方法。