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时间:2019-06-18
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1、利用“几何画板”辅助圆锥曲线的教学沈卫忠李莉(江苏省锡山高级中学)苏教版高中数学选修2-1圆锥曲线的情境很丰富,除了原人教版的平面截圆锥面、拉线得椭圆、拉链得双曲线等外,新增了章头图行星运动轨道及Dandlin双球发现椭圆,还有操作题和“几何画板”辅助圆锥曲线的教学.一、用折纸折出圆锥曲线例1.(选修2-1P.29第7题)准备一张圆形纸片(半径为R),在圆内任取不同于圆心的一点F,将纸片折起,使圆周过点F,然后将纸展开,就得到一条折痕L(为了看清楚,可以把直线L画出来),这样继续折下去,得到若干折痕.这些折痕的轮廓形成什么曲线?如何证
2、明?图1【解析】折痕L画得多一点,效果还是很好的,学生会惊喜地发现,众多折痕就是一个椭圆的轮廓.如图1,将圆周过点F的点记为F',连结OF'、FF',设折痕所在直线L与OF'的交点为P,PF'=PF,又PF'=R,且OFOF.点P是以O、F为焦点,R为长轴的椭圆.链接折出椭圆观察发现:直线L与椭圆只有一个交点P,联想直线与圆只有一个交点,称该直线L是圆的切线.若圆方程为,则切点为的切线方程为.若椭圆方程为,点可以证明切线L的方程为.图2例2.(选修2-1P.39第8题)在纸上画一个圆O(半径为R),在圆外任取一个
3、定点F,将纸片折起,使圆周过点F,然后将纸展开,就得到一条折痕L,这样继续折下去,得到若干折痕.这些折痕的轮廓形成什么曲线?如何证明?【解析】同例1,折痕的轮廓形成双曲线(如图2),PF'=PF,
4、PF'-OF
5、=R,
6、PF-OF
7、=R,又OF>R,3/3点P是以O、F为焦点,R为实轴的双曲线.链接折出双曲线,直线L都与双曲线相切,若双曲线方程为,点可以证明切线L方程为.例3.(选修2-1P.50第11题)将长方形纸片ABCD的一只角斜折,将纸片折起,使点A总是落在对边CD上,然后将纸展开,就得到一条折痕L,这样继续折下去,得到若干折
8、痕.这些折痕的轮廓形成什么曲线?如何证明?图3【解析】同例1,折痕的轮廓形成抛物线(如图3),过作,交直线L于P,连结AP,AP=A'P,点P是以A为焦点,DC为准线的抛物线.链接折出抛物线,直线L都与形成的抛物线相切,若抛物线方程为,点可以证明切线L方程为.二、用统一定义画圆锥曲线例4.选修2-1P.51利用“几何画板”探究到定点与定直线距离比分别为0.5和2的轨迹是什么曲线,按下列简单画法,利用“几何画板”,可作出任意离心率的圆锥曲线.图4【画法】1.如图4,圆锥曲线的轴直线H'A;2.过H'作圆锥曲线的准线L;3.H'A上取一个
9、点F(圆锥曲线的焦点);4.滑块e(圆锥曲线的离心率);5.在直线H'A上任取点P',度量P'H'记作d,并过P'作准线L的平行线L';6.计算ed并以F为圆心,d长为半径画圆,与直线L'交点为P和P";7.过P作准线的垂线,垂足为H,追踪点P、P",隐藏辅助线,拉动点P'(构造点P'的动画),则动点P到定点F的距离与定直线L的距离为常数e;8.根据需要调整离心率e的取值3/3,可任意作出圆锥曲线示意图;再调整焦点到准线的距离H'F,可精确作出任意给定条件的圆锥曲线图象(按Ctrl+B可擦除刚刚生成的轨迹).图5三、用“几何画板”探究
10、动点轨迹例5.设B是半径为R的定圆A内的一个定点,D是圆上的动点,过线段BD的中点E作BD的垂线与半径AD交于点P,求点P的轨迹.【解析】由PE是BD的垂直平分线,所以BP=DP,又AD是圆的半径R,即AP+BP=R>AB,即点P是以A、B为焦点R为长轴的椭圆.【探究1】点E的轨迹?与点P轨迹的关系?点E的轨迹有的学生猜想是一个椭圆,经过讨论,多数学生认为是一个圆.从画板上作出图5的轨迹,可发现OE=AD/2,即点E的轨迹是以O圆心,R/2为半径的圆且是椭圆的外切圆.图6【探究2】如果将点B放在圆外,点P与点E的轨迹各是什么?两者的关
11、系又如何?运动点D可得图6,PB=PD,PD-PA=PB-PA所以
12、PB-PA
13、=R
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