圆锥曲线培优讲义

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1、一原点三角形面积公式1.已知椭圆的离心率为，且过点．若点M（x0，y0）在椭圆C上，则点称为点M的一个“椭点”．（1）求椭圆C的标准方程；（2）若直线l：y=kx+m与椭圆C相交于A，B两点，且A，B两点的“椭点”分别为P，Q，以PQ为直径的圆经过坐标原点，试求△AOB的面积．2.己知椭圆x2+2y2=1，过原点的两条直线l1和l2分别与椭圆交于点A，B和C，D．记△AOC的面积为S．（1）设Ax1,y1，Cx2,y2．用A，C的坐标表示点C到直线l1的距离，并证明S=12x1y2-x2y1；（2）设l1:y=kx，C

2、33,33，S=13，求k的值．（3）设l1与l2的斜率之积为m，求m的值，使得无论l1与l2如何变动，面积S保持不变．3.已知椭圆的左、右两焦点分别为,椭圆上有一点与两焦点的连线构成的中，满足（1）求椭圆的方程；（2）设点是椭圆上不同于椭圆顶点的三点，点与点关于原点对称，设直线的斜率分别为，且，求的值.4.在平面直角坐标系内，动点与两定点，连线的斜率之积为(1)求动点的轨迹的方程；(2)设点是轨迹上相异的两点．(I)过点A，B分别作抛物线的切线、，与两条切线相交于点，证明：；12(Ⅱ)若直线OA与直线OB的斜率之积为

3、，证明：为定值，并求出这个定值·1.已知A、B分别是x轴和y轴上的两个动点，满足AB=2，点P在线段AB上，且AP=tPB（t是不为0的常数），设点P的轨迹方程为C．（1）求点P的轨迹方程C；（2）若曲线C为焦点在x轴上的椭圆，试求实数t的取值范围；（3）若t=2，点M，N是曲线C上关于原点对称的两个动点，点Q的坐标为32,3，求△QMN的面积S的最大值．2.已知椭圆C1的焦点在x轴上，中心在坐标原点；抛物线C2的焦点在y轴上，顶点在坐标原点．在C1，C2上各取两个点，将其坐标记录于表格中：x3-242y920822（

4、1）求C1，C2的标准方程；（2）已知定点C0,18，P为抛物线C2上一动点，过点P作抛物线C2的切线交椭圆C1于A，B两点，求△ABC面积的最大值．3.已知抛物线y2=4x的焦点为F，过点F的直线交抛物线于A，B两点．（1）若AF=2FB，求直线AB的斜率；（2）设点M在线段AB上运动，原点O关于点M的对称点为C，求四边形OACB面积的最小值．4.设椭圆C1：x2a2+y2b2=1a>b>0的左、右焦点分别是F1、F2，下顶点为A，线段OA的中点为B（O为坐标原点），如图．若抛物线C2：y=x2-1与y轴的交点为B，

5、且经过F1，F2点．（1）求椭圆C1的方程；12（2）设M0,-45，N为抛物线C2上的一动点，过点N作抛物线C2的切线交椭圆C1于P、Q两点，求△MPQ面积的最大值．二定点定值问题1.动点在圆：上运动，定点，线段的垂直平分线与直线的交点为．（Ⅰ）求的轨迹的方程；（Ⅱ）过点的直线，分别交轨迹于，两点和，两点，且．证明：过和中点的直线过定点．2.在直角坐标系中，抛物线的顶点是双曲线：的中心，抛物线的焦点与双曲线的焦点相同．（Ⅰ）求抛物线的方程；（Ⅱ）若点为抛物线上的定点，，为抛物线上两个动点．且⊥，问直线是否经过定点？若

6、是，求出该定点，若不是，说明理由．3.如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C:x2a2+y2b2=1a>b>0的离心率为63，直线l与x轴交于点E，与椭圆C交于A,B两点．当直线l垂直于x轴且点E为椭圆C的右焦点时，弦AB的长为263．（1）求椭圆C的方程；12（2）若点E的坐标为32,0，点A在第一象限且横坐标为3，连接点A与原点O的直线交椭圆C于另一点P，求△PAB的面积；（3）是否存在点E，使得1EA2+1EB2为定值?若存在，请指出点E的坐标，并求出该定值；若不存在，请说明理由．1.已知椭圆的左焦点为F，不垂直

7、于x轴且不过F点的直线l与椭圆C相交于A，B两点．（1）如果直线FA，FB的斜率之和为0，则动直线l是否一定经过一定点？若过一定点，则求出该定点的坐标；若不过定点，请说明理由．（2）如果FA⊥FB，原点到直线l的距离为d，求d的取值范围．2.如图，已知直线关于直线对称的直线为，直线与椭圆分别交于点、和、，记直线的斜率为.（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）当变化时，试问直线是否恒过定点?若恒过定点，求出该定点坐标；若不恒过定点，请说明理由.3.如图，椭圆E:x2a2+y2b2=1（a>b>0）的离心率是22，过点P0,1的动直线l与椭

8、圆相交于A，B两点．当直线l平行于x轴时，直线l被椭圆E截得的线段长为22．（1）求椭圆E的方程；（2）在平面直角坐标系xOy中，是否存在与点P不同的定点Q，使得QAQB=PAPB恒成立?若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．121.已知动圆过定点p2,0，且与直线x=-p2相切，其中p>0．（1）求动圆圆心C的轨迹的方程