2013年理科(培优)圆锥曲线

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1、OABMxy1已知椭圆：（）经过与两点，过原点的直线与椭圆交于、两点，椭圆上一点满足．（1）求椭圆的方程；（2）求证：为定值．1（1所以椭圆的方程为．（2）由，知在线段的垂直平分线上，由椭圆的对称性知、关于原点对称．①若点、在椭圆的短轴顶点上，则点在椭圆的长轴顶点上，此时．……（1分）同理，若点、在椭圆的长轴顶点上，则点在椭圆的短轴顶点上，此时．……（2分）②若点、、不是椭圆的顶点，设直线的方程为（），则直线的方程为．设，，由，解得，，……（4分）所以，同理可得，所以．…综上，为定值．…2.设抛物线C：的焦点为F，经过点F的直线与抛物线交于A、B两点．(1)若，求线段中点M的轨

2、迹方程；(2)若直线AB的方向向量为，当焦点为时，求的面积；(3)若M是抛物线C准线上的点，求证：直线的斜率成等差数列．解：(1)设，，焦点，则由题意，即…所求的轨迹方程为，即…(2)，，直线，……由得，，，…(3)显然直线的斜率都存在，分别设为．点的坐标为．设直线AB：，代入抛物线得，…所以，……又，，因而，因而…分而，故．…1.如图，椭圆的左焦点为，右焦点为，过的直线交椭圆于两点，的周长为8，且面积最大时，为正三角形．（1）求椭圆的方程；（2）设动直线与椭圆有且只有一个公共点，且与直线相交于点．试探究：①以为直径的圆与轴的位置关系？②在坐标平面内是否存在定点，使得以为直径的

3、圆恒过点？若存在，求出的坐标；若不存在，说明理由．解：（1）当三角形面积最大时，为正三角形，所以，椭圆E的方程为（2）①由，得方程由直线与椭圆相切得求得，，中点到轴距离。所以圆与轴相交。（2）②假设平面内存在定点满足条件，由对称性知点在轴上，设点坐标为，。由得所以，即所以定点为。2.设直线交椭圆于两点，交直线于点．（1）若为的中点，求证：；（2）写出上述命题的逆命题并证明此逆命题为真；（3）请你类比椭圆中（1）、（2）的结论，写出双曲线中类似性质的结论（不必证明）．解：（1）解法一：设，又…解法二（点差法）：设，两式相减得即………（2）逆命题：设直线交椭圆于两点，交直线于点．若

4、，则为的中点．……证法一：由方程组因为直线交椭圆于两点，所以，即，设、、则，又因为，所以，故E为CD的中点．…证法二：设则，两式相减得即…又，即…得，即为的中点．…（3）设直线交双曲线于两点，交直线于点．则为中点的充要条件是．1椭圆的中心为坐标原点，右焦点为，且椭圆过点.若的三个顶点都在椭圆上，设三条边的中点分别为.（1）求椭圆的方程；（2）设的三条边所在直线的斜率分别为，且.若直线的斜率之和为0，求证：为定值.21．解：（1）设椭圆的方程为，由题意知：左焦点为所以，解得，．故椭圆的方程为．（方法2、待定系数法）（2）设，，由：，，两式相减，得到所以，即，同理，所以，又因为直线

5、的斜率之和为0，所以方法2、设直线：，代入椭圆，得到，化简得(以下略)1.已知椭圆的对称轴为坐标轴,离心率为且抛物线的焦点是椭圆的一个焦点．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设直线与椭圆相交于A、B两点，以线段为邻边作平行四边形OAPB，其中点P在椭圆上，为坐标原点.求点到直线的距离的最小值．解：（I）由已知抛物线的焦点为,故设椭圆方程为，则所以椭圆的方程为…（II）当直线斜率存在时，设直线方程为，则由消去得，，，①设点的坐标分别为，则：，由于点在椭圆上，所以.从而，化简得，经检验满足①式.又点到直线的距离为：当且仅当时等号成立当直线无斜率时，由对称性知，点一定在轴上，从而点的坐标为，

6、直线的方程为，所以点到直线的距离为1.所以点到直线的距离最小值为.2.已知点是椭圆的左顶点，直线与椭圆相交于两点，与轴相交于点.且当时，△的面积为.（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设直线，与直线分别交于，两点，试判断以为直径的圆是否经过点？并请说明理由.解：（Ⅰ）当时，直线的方程为，设点在轴上方，由解得,所以.因为△的面积为，解得.所以椭圆的方程为.（Ⅱ）由得，显然.设,则，,.又直线的方程为，由解得，同理得.所以,.所以,所以以为直径圆过点.3.在平面直角坐标系中，动点到两点，的距离之和等于，设点的轨迹为曲线，直线过点且与曲线交于，两点．Ⅰ）求曲线的轨迹方程；（Ⅱ）是否存在△面积的

7、最大值，若存在，求出△的面积；若不存在，说明理由.解.（Ⅰ）由椭圆定义可知，点的轨迹C是以，为焦点，长半轴长为的椭圆．故曲线的方程为．（Ⅱ）存在△面积的最大值.因为直线过点，可设直线的方程为或（舍）．则整理得．由．设．解得，．则．因为．设，，．则在区间上为增函数．所以．所以，当且仅当时取等号，即．所以的最大值为．5.曲线都是以原点O为对称中心、离心率相等的椭圆．点M的坐标是（0,1），线段MN是的短轴，是的长轴.直线与交于A,D两点（A在D的左侧），与交于B,C两点（B在C的左侧）．（Ⅰ）当