人教版必修二数学圆与方程知专题讲义

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1、人教版必修二圆与方程专题讲义一、标准方程1.求标准方程的方法——关键是求出圆心和半径2.特殊位置的圆的标准方程设法（无需记，关键能理解）条件方程形式圆心在原点过原点圆心在轴上圆心在轴上圆心在轴上且过原点圆心在轴上且过原点与轴相切与轴相切与两坐标轴都相切二、一般方程1.表示圆方程，则2.求圆的一般方程方法①待定系数：往往已知圆上三点坐标②利用平面几何性质6涉及点与圆的位置关系：圆上两点的中垂线一定过圆心涉及直线与圆的位置关系：相切时，利用到圆心与切点的连线垂直直线；相交时，利用到点到直线的距离公式及垂径定理3.常可用来求有关参数的范围三、点与圆的位置关系1.判断方法：点到圆心的距离与半径的大小

2、关系点在圆内；点在圆上；点在圆外2.涉及最值：（1）圆外一点，圆上一动点，讨论的最值（2）圆内一点，圆上一动点，讨论的最值思考：过此点作最短的弦？（此弦垂直）3.以两点为直径的圆方程为四、直线与圆的位置关系1.判断方法（为圆心到直线的距离）（1）相离没有公共点（2）相切只有一个公共点（3）相交有两个公共点2.直线与圆相切（1）知识要点①基本图形6②主要元素：切点坐标、切线方程、切线长等问题：直线与圆相切意味圆心到直线的距离恰好等于半径（2）常见题型——求过定点的切线方程①切线条数点在圆外——两条；点在圆上——一条；点在圆内——无②求切线方程的方法及注意点i）点在圆外如定点，圆：，[]第一步：

3、设切线方程第二步：通过，从而得到切线方程特别注意：以上解题步骤仅对存在有效，当不存在时，应补上——千万不要漏了.如：过点作圆的切线，求切线方程.答案：和ii）点在圆上若点在圆上，则切线方程为注：碰到一般方程则可先将一般方程标准化，然后运用上述结果.③求切线长：利用基本图形，求切点坐标：利用两个关系列出两个方程3.直线与圆相交（1）求弦长及弦长的应用问题：垂径定理及勾股定理（2）判断直线与圆相交的一种特殊方法（一种巧合）：直线过定点，而定点恰好在圆内.（3）关于点的个数问题例：若圆上有且仅有两个点到直线的距离为1，则半径的取值范围是_________________.答案：4.直线与圆相离：会

4、对直线与圆相离作出判断（特别是涉及一些参数时）6五、对称问题1.若圆，关于直线，则实数的值为____.答案：3（注意：时，，故舍去）变式：已知点是圆:上任意一点，点关于直线的对称点在圆上，则实数_________.2.圆关于直线对称的曲线方程是________________.变式：已知圆：与圆：关于直线对称，则直线的方程为_______________.3.圆关于点对称的曲线方程是__________________.4.已知直线：与圆：，问：是否存在实数使自发出的光线被直线反射后与圆相切于点？若存在，求出的值；若不存在，试说明理由.六、最值问题方法主要有：（1）数形结合；（2）代换例：已

5、知实数，满足方程，求：（1）的最大值和最小值；——看作斜率（2）的最小值；——截距（线性规划）（3）的最大值和最小值.——两点间的距离的平方七、圆与圆的位置关系1.判断方法：几何法（为圆心距）（1）外离（2）外切（3）相交（4）内切（5）内含2.两圆公共弦所在直线方程6圆：，圆：，则为两相交圆公共弦方程.注：若与相切，则表示其中一条公切线方程；若与相离，则表示连心线的中垂线方程.3．圆系问题（1）过两圆：和：交点的圆系方程为（）注：1）上述圆系不包括；2）当时，表示过两圆交点的直线方程（公共弦）（2）过直线与圆交点的圆系方程为（3）有关圆系的简单应用（4）两圆公切线的条数问题①相内切时，有一

6、条公切线；②相外切时，有三条公切线；③相交时，有两条公切线；④相离时，有四条公切线八、轨迹方程（1）定义法（圆的定义）（2）直接法：通过已知条件直接得出某种等量关系，利用这种等量关系，建立起动点坐标的关系式——轨迹方程.例：过圆外一点作圆的割线，求割线被圆截得的弦的中点的轨迹方程.分析：（3）相关点法（平移转换法）：一点随另一点的变动而变动动点主动点特点为：主动点一定在某一已知的方程所表示的（固定）轨迹上运动.6例：如图，已知定点，点是圆上的动点，的平分线交于，当点在圆上移动时，求动点的轨迹方程.分析：角平分线定理和定比分点公式.6