考研数学D6考研基础班

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1、第六章定积分的应用1(3)求和，(4)求极限，相应的曲边梯形被分为n个小窄曲边梯形，小窄曲边梯形的面积为则(2)计算的近似值，而第i个(1)把区间[a,b]分成n个长度为的小区间得A的近似值,得A的精确值回顾：面积表示为定积分的步骤：abxyo2abxyo面积元素对以上过程进行简化:这种简化以后的定积分方法叫“微元法”或“元素法”的面积，则取面积元素记为则若用表示任一小区间上的窄曲边梯形3表示为1)所求量U是与区间[a,b]上有定义的f(x)有关的2)U对区间[a,b]具有可加性,即可通过“大化小,常代变,近似和,取极限”定积分定义:一个整体量

2、;一、定积分的元素法1.什么问题可以用定积分（元素法）解决?4元素的几何形状常取为:条,带,段,环,扇,片,壳等第一步，根据具体情况，选取积分变量，如：x.确定x的变化区间[a,b].第二步，把区间[a,b]分成n个小区间，取一代表区间求出该区间上所求量的部分量的称为量U的微元.第三步，写出定积分的表达式：近似表达式先作图2.应用定积分的元素法解决问题的具体步骤是：这个方法通常叫做元素法．53.使用元素法时应注意：(1)U是与一个变量x的变化区间[a,b]有关的量.(2)U对于区间[a,b]具有可加性，则U相应地分成许多即如果把区间[a,b]分

3、成许多部分区间，部分量，而U等于所有部分量之和.则U在[a,b]上的值可由定积分示为(3)在[a,b]中任取的小区间上的部分量与区间长度可以通过x的某函数乘积近似表来计算.6二、定积分在几何学上的应用1.直角坐标系下平面图形面积的计算（1）设曲线与直线及x轴所围曲则边梯形面积为A,(2)由曲线所围图形的面积.其面积元素为：则面积为上曲线下曲线7(3)为曲边，以以[c,d]为底的曲边梯形(4)由曲线所围图形的面积.其面积元素为：则面积为右曲线左曲线xoycdxyocdy+dyyy+dyy的面积A.8总之oxyxx+dxx+dxx在[a,b]上有正

4、有负时，时，时，设曲线及x轴所围曲边梯形面积为A,则（5）9回顾：极坐标系1)极坐标系的定义：在平面上取定一点o，叫做极点.从极点出发引一条射线Ox,叫极轴，并取定一个长度单位和计算角度的正方向(通常取逆时针方向作正方向),这样就建立了一个平面极坐标系.x1234o.2)极坐标与直角坐标的互化xoyyx10过点M(a,0)且垂直于极轴的直线的极坐标方程过极点且倾角为的射线的极坐标方程为xoyxo.Mby极坐标与直角坐标的关系:轴的直线方程为过点M且平行于极3)几个常用曲线的极坐标方程xoyM(a,0)11xory圆极坐标方程oxy2ao

5、xy2a圆极坐标方程圆极坐标方程122.极坐标系下平面图形面积的计算求由曲线及围成的曲边扇形的面积.在区间上任取小区间则对应该小区间上曲边扇形面积的近似值为所求曲边扇形的面积为133.已知平行截面面积函数的立体体积设所给立体垂直于x轴的截面面积为A(x),则在小区间的体积元素为立体体积为：上连续,xA(x)xaVb14曲边梯形旋转一周围成的旋转体的体积为：曲边梯形绕y轴旋转一周围成的旋转体体积为：4.旋转体的体积15abf(x)yx0曲边梯形y=f(x)，xdxx=a,x=b,y=0绕y轴生成的旋转的体积.求旋转体体积—柱壳法16xabyx

6、0内表面积.dxdV=2xf(x)dxf(x)曲边梯形y=f(x)，x=a,x=b,y=0旋转的体积.求旋转体体积—柱壳法绕y轴生成的17oyx围成的曲边梯形绕y轴旋转一周而成的立体的体积.所以：由连续曲线直线x=a、x=b(a

7、积取侧面积元素:(数1、数2)20y+dyyoyxdcoyxX型Y型请熟记以下公式：21注意：1)以上公式都要求2)复杂图形应学会分割.3)不能用公式时应会元素法.4)若曲边梯形的曲边为参数方程则上述公式可以用定积分的换元法处理.5)若曲边梯形的曲边为极坐标方程则可转化为直角坐标系下的参数方程：6)与弧长有关时，其限应上大下小.22解:典型例题分析23解:24xyoAB解:依题意有25例4.计算抛物线与直线一周而成的旋转体的体积.所围图形解:如图绕x轴旋转26所围图形绕旋转而成的旋转体的体积.分析：无公式可用，用元素法.如图例5.求由及解法1：

8、选择y作积分变量,解法2：选择x作积分变量27思考：过坐标原点作曲线轴围成平面图形D.(1)求D的面积;(2)求D绕直线x=e旋转一周所得旋转体的体积