线性代数5.2-5.3节(3学分)

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1、§2方阵的特征值与特征向量定义.注意特征向量一定是非零向量.性质1.例1.解:性质2.证:(1)(2)例2.性质3.根据这个结论我们知道属于不同特征值的特征向量线性无关.解:定理:例3.(Ex9)证:例4.例5.(Ex10)证:反证法.证:1.求矩阵特征值与特征向量的步骤：(1).计算的特征多项式

2、A–E

3、;(2).求特征方程

4、A–E

5、=0的全部根1,2,···,n,也就是A的全部特征值;(3).对于特征值i,求齐次方程组(A–iE)X=0的非零解,也就是对应于i的特征向量.(重点)小结:2.特征值和特征向量的三个性质.3.利用特征值求行列式.§3相似矩阵定义

6、.我们之所以研究矩阵可对角化,因为对角矩阵是最简单的矩阵,如果矩阵可对角化,我们就可以利用这个对角矩阵去研究原来矩阵的性质.定理.推论.证:证:结论.若f()=

7、A－E

8、为矩阵A的特征多项式,则矩阵A的多项式f(A)=0.注意:f(A)≠

9、A－AE

10、.这个结论的一般性证明是比较困难的,但是如果矩阵A可对角化,则很容易证明这个结论.定理1.矩阵可对角化的几个判别准则:证:反之，把证明过程逆一下就可以了.推论.若n阶矩阵A有n个互不相等的特征值,则A可对角化.结论:证:属于不同特征值的特征向量是线性无关的.根据条件知道A有n个互不相等的特征值,所以A有n个线性无关的特征向量.

11、所以根据上面的定理我们知道矩阵A可对角化.注意这个判别准则不是充要条件.定理2.例1.解:例2.解:小结:2.矩阵可对角化的几个判别准则:(2).若n阶矩阵A有n个互不相等的特征值,则A可对角化.注意这个判别准则不是充要条件.3.