线性代数1.6-1.7节(3学分)

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1、§6行列式按行（列）展开定义：在n阶行列式Ddet(aij)中把元素aij所在的第i行和第j列划去后剩下来的元素按原来的排列构成的n1阶行列式称为aij的余子式记为Mij而Aij(1)ijMij称为aij的代数余子式引理.定理.(行列式按第j列展开.)(行列式按第i行展开.)n阶行列式的计算问题转化为n-1阶行列式的计算问题.解:按第一行展开,得例1:计算行列式如果按第二行展开,得例2.求例3(03).例4.证明范德蒙行列式定理的推论注意:两个行列式只有第j行不同,所以它们的

2、第j行的代数余子式对应相等.关于代数余子式的重要性质性质.设中的代数余子式是则例.设元的代数余子式记作的求1.行列式按行(列)展开法则是把高阶行列式的计算化为低阶行列式计算的重要工具.小结2.§7克拉默法则克拉默法则若线性方程组的系数行列式则方程组有唯一解:其中定理.非齐次线性方程组:b1,b2,…,bn不全为零.齐次线性方程组:b1=b2=…=bn=0.定理.证:(2)只有零解当且仅当(2)有唯一解.所以结论由上面的定理推出.例1.解:例2.解:定理.用克拉默法则解方程组的两个条件:(1)方程

3、个数等于未知量个数;(2)系数行列式不等于零.小结例1.解:计算行列式.例2:计算解:例3:计算解:例4:计算解:例5.例6:计算解:例7.四.利用递推法计算行列式.例8:证明证:对阶数n用数学归纳法.易知当n=1,2时,结论成立.假设阶数小于n时,结论成立.由归纳假设,Dn-1=cos(n–1),Dn-2=cos(n–2).所以Dn=2coscos(n–1)–cos(n–2)所以,对任意的自然数n,结论成立.例9:计算解:依第n列把Dn拆成两个行列式之和,(将上式右端第一个行列式的第

4、n列的(–1)倍分别加到第1,2,···,n–1列上去;将上式右端第二个行列式按第n列展开.)所以,Dn=x1x2···xn-1a+xnDn-1=x1x2···xn-1a+x1x2···xn-2axn+xn-1xnDn-2.而=x1x2···xn-1a+xn(x1x2···xn-2a+xn-1Dn-2)