第一讲 集合的概念与运算(讲稿)

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1、第一讲集合的概念与运算集合是数学中最重要的概念之一，由19世纪德国数学家康托（GeorgeCantor，1845~1918）创立，至今，集合的理论和方法已渗透到数学的各个领域，成为现代数学金字塔最重要的基础之一．在这里，我们并不关心系统的集合理论，情有独钟的只是那些在数学竞赛中常出现的集合问题，有些问题是代数内容，有些问题属于组合内容，但是为了做一些准备，我们要在此先简单了解．集合是一个不加定义的原始概念，一般地，某些指定的对象集中在一起就成为一个集合．集合中的每一个对象叫做这个集合的元素；对于给定的集合，其中的元素具有确定性、互异性和无序性．对于一个具体的集合而言，很多情况

2、下我们还是可以采用列举法或者描述法给出它一个准确而清晰的表示．用描述法表示集合是基于下面的概括原则：对任意给定的一个性质，存在一个集合，它的元素恰好是具有性质的所有对象，即：，其中表示“具有性质”，由此可知，判断一个对象是否为集合的元素等价于判断是否具有性质．集合中的元素个数为有限个数的集合称为有限集，元素个数为无限数的集合称为无限集．如果有限集的元素个数为，则称为元集，记作：（旧书中记作：）．两个集合之间的关系通过子集、交集、并集、补集来反映：，且；，或；，且．有时，我们还用到集合的差集：定义：由属于集合但不属于集合的所有元素组成的集合叫做集合对于集合的差集，记作：(或)，

3、即：，且．由定义可知，补集只是差集的一种特殊情况．记为全集，容易证明集合的运算满足以下法则：1.等幂律：，；2.同一律：，，，；3.互补律：，；4.交换律：，；5.结合律：，；6.分配率：；7.吸收率：，；8.反演律：，．例1．已知集合，对它的任一非空子集，可以将中的每一个元素，都乘以后再求和．对的所有非空子集，这些和的总和为多少？解：设，则问题即为求的所有非空子集中元素和的总和．又注意到集合中的元素在子集中出现的次数为.故所求的总和为：．例2．集合(不必相异)的并集.求满足条件的集合的有序三元组的个数．解：由文氏图可知，中之间可得7个区域(有的区域可能没有元素)，而中每一个

4、数都要落在其中的一个区域中，从而所求的有序三元组的个数为．例3．设集合，若中所有三元子集的三个元素之和组成的集合为，求集合．（2011年全国高中数学联赛）解：不妨设，则由条件可知：，解得：，故为所求．例4．设，≥15，集合均为的真子集，．证明：集合或者集合中，必有两个不同的数，它们的和为完全平方数．证明：由，不妨设，并假设集合和集合中都不存在和为完全平方数的两个元素，则．于是有，，由于≥15，则，即．若，则15+1=16这不可，若，则10+15=25，也不可，从而得到矛盾!所以假设不成立，即集合或者集合中必有两个不同的数，它们的和为完全平方数．例5．设集合，其中，求．解：不妨

5、设，则又由得：所以有：，而，于是：．所以：，而,故．．故为所求．例6．设是两个整数平方和的集合，即：．证明：（1）若，则；（2）若，，则，其中是有理数．证明：（1）由于，可设：，其中均为整数．于是即是两个整数的平方和．故得证．（2）由于，由（1）可知，．于是可令，又，因此：，而均为有理数，从而命题获证．例7．设函数，集合，．(1)证明：；(2)当为单元集时，求证：；(3)当，求集合．解(1)对任意的，有，于是，即有，所以得证．(2)设，有条件可知，方程有两个相等的实数根，故，即．故方程等价于：，即：所以有，且，得：，即方程的根为，即，故得证．（3）由可得方程的两个根分别为，解

6、得：，故，由得：，由（1）知，因此方程左端含有因式，因式分解可得：解得：，所以，为所求．例8．设集合，，．求证：．证明：对任意的，设，且，则：，其中．故，于是；又对任意的，设，且，则：，其中．故，于是；综上所述：得证．例9．设集合的元素都是正整数，且满足如下条件：（1）的元素个数不小于3；（2）若，则的所有因数都属于；（3）若，，则．请解答如下问题：（1）证明：；（2）判断2005是否属于集合，并说明理由．解：（1）易知；设，若中至少有一个偶数，则；若都是奇数，则为偶数，由以及条件（2）可得，从而；设（），则：，，进而有：，令，则为偶数，重复上述过程，有，而为偶数，故，所以；

7、于是；．综上所述：成立．（2）由．注：可以用数学归纳法证明：．例10．已知集合，，．问：（1）当为何值时，为含有两个元素的集合？（2）当为何值时，为含有三个元素的集合？解：由，而与分别为方程组①②的解集；由①得：；由②得：；（1）使恰有两个元素的情况只有如下两种可能：（i）（ii）解得，或者，即当或1时，为含有两个元素的集合．（2）使恰有三个元素的情况是：，解得：；故当或时，为含有三个元素的集合．课后练习：1．设全集为实数集．若集合，，则=．2．若非空集合，，则能使成立的所有实数构成的集合是．3．集合满