数值分析课件 (第1章 )new

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1、数值分析电子课件研究生公共课程数学系列辽宁科技大学理学院任课教师：熊焱Email:xy-zhxw@163.com课程简介教材《数值分析》李庆杨，王能超，易大义，清华大学出版社(第5版)，北京：2008教学参考书：封建湖，聂玉峰，王振海，数值分析导教导学导考，西北工业大学出版社，2003学时：48学时（理论40+上机8）考试方式：笔试（70分闭卷）+实验（30分）任课教师：熊焱（辽宁科技大学理学院）第1章数值分析与科学计算引论内容提要：1.1数值分析研究对象、作用与特点1.2数值计算的误差1.3误差定性分

2、析与避免误差危害1.1数值分析研究对象与特点一、数值分析研究对象计算机解决科学计算问题时经历的过程实际问题模型设计算法设计问题的解上机计算程序设计求方程求根牛顿法程序设计解上机计算实例二、计算数学与科学计算计算数学是各种计算性科学的共性基础，兼有基础性、应用性和边缘性的数学科学。科学计算是一门工具性、方法性、边缘性的科学，也是新的计算性交叉学科的统称，如计算物理、计算化学、计算经济学等。数值分析的内容包括函数的数值逼近、数值微分与数值积分、非线性方程数值解、数值线性代数、常微和偏微数值解等。著名流行软

3、件如Maple、Matlab、Mathematica等已将其绝大多数内容设计成函数，简单调用之后便可以得到运行结果。但由于实际问题的具体特征、复杂性,以及算法自身的适用范围决定了应用中必须选择、设计适合于自己特定问题的算法，因而掌握数值方法的思想和内容是至关重要的。本课程内容包括了微积分、代数、常微分方程的数值方法，必须掌握这几门课程的基础内容才能学好这门课程。三、数值分析的特点面向计算机，要根据计算机的特点提供切实可行的有效算法。有可靠的理论分析，能任意逼近并达到精度要求，对近似算法要保证收敛性和数

4、值稳定性，还要对误差进行分析。这些都是建立在数学理论的基础上，因此不应片面的将数值分析理解为各种数值方法的简单罗列和堆积。要有好的计算复杂性，时间复杂性好是指节省时间，空间复杂性好是指节省存储量，这也是建立算法要研究的问题，它关系到算法能否在计算机上实现。要有数值实验，即任何一个算法除了从理论上要满足上述三点外，还要通过数值实验证明是行之有效的。四、数值分析的学习方法初学可能仍会觉得公式多，理论分析复杂。给出如下的几点学习方法。认识建立算法和对每个算法进行理论分析是基本任务，主动适应公式多和讲究理论分析

5、的特点。注重各章节所研究算法的提出，掌握方法的基本原理和思想，要注意方法处理的技巧及其与计算机的结合。理解每个算法建立的数学背景、数学原理和基本线索，而且对一些最基本的算法要非常熟悉。要通过例子，学习使用各种数值方法解决实际计算问题。为掌握本课的内容，还应做一些理论分析和计算练习。1.2数值计算的误差一、误差的来源与分类在运用数学方法解决实际问题的过程中，每一步都可能带来误差。1、模型误差在建立数学模型时，往往要忽视很多次要因素，把模型“简单化”，“理想化”，这时模型就与真实背景有了差距，即带入了误差。

6、2、观测误差数学模型中的已知参数，多数是通过测量得到。而观测过程受工具、方法、观察者的主观因素、不可预料的随机干扰等影响必然带入误差。3、截断误差数学模型常难于直接求解，往往要近似替代，简化为易于求解的问题，这种简化带入误差称为方法误差或截断误差。4、舍入误差计算机只能处理有限数位的小数运算，初始参数或中间结果都必须进行四舍五入运算，这种误差称为舍入误差。误差分析是一门比较艰深的专门学科。在数值分析中主要讨论截断误差及舍入误差。但一个训练有素的计算工作者，当发现计算结果与实际不符时，应当能诊断出误差的来

7、源，并采取相应的措施加以改进，直至建议对模型进行修改。二、绝对误差、相对误差与有效数字1、绝对误差与绝对误差限误差是有量纲的量，量纲同x，它可正可负。误差一般无法准确计算，只能根据测量或计算情况估计出它的绝对值的一个上限，这个上界称为近似值x*的误差限，记为ε*。2、相对误差与相对误差限误差不能完全刻画近似值的精度。定义3如果近似值x*的误差限是它某一数位的半个单位，我们就说x*准确到该位，从这一位起直到前面第一个非零数字为止的所有数字称x*的有效数字.3、有效数字再如：π=3.14159265则3.1

8、4和3.1416分别有3位和5位有效数字。而3.143相对于π也只能有3位有效数字。在更多的情况，我们不知道准确值x。如果我们认为计算结果各数位可靠，将它四舍五入到某一位，这时从这一位起到前面第一个非零数字共n位。它与计算结果之差必小于该位的半个单位。我们习惯上说将计算结果保留n位有效数字。4、绝对误差，相对误差与有效数字的关系绝对误差与相对误差的关系由两者定义可知。绝对误差与有效数字的关系：绝对误差不超过末位有效数字的半个单位。有效数字与