常系数线性方程组基解矩阵的计算

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1、常系数线性方程组基解矩阵的计算董治军（巢湖学院数学系，安徽巢湖238000）摘要：微分方程组在工程技术中的应用时非常广泛的，不少问题都归结于它的求解问题，基解矩阵的存在和具体寻求是不同的两回事，一般齐次线性微分方程组的基解矩阵是无法通过积分得到的，但当系数矩阵是常数矩阵时，可以通过方法求出基解矩阵，这时可利用矩阵指数t，给出基解矩阵的一般形式，本文针对应用最广泛的常系数线性微分方程组，结合微分方程，线性代数等知识，讨论常系数齐次线性微分方程的基解矩阵的几个一般的计算方法.关键词；常系数奇次线性微分方程组；基解矩阵；矩阵指数Calc

2、ulationofBasicsolutionMatrixofLinearHomogeneousSystemwithConstantCoefficientsZhijunDong(DepartmentofMathematics,ChaohuCollegeAnhui,Chaohu)Abstract:Differentialequationsapplicationinengineeringtechnologyisveryextensive,whenmanyproblemsareattributabletoitssolvingproblem

3、,basesolutionmatrixexistenceandspecificseekisdifferentthings,generalhomogeneouslineardifferentialequationsisnotthebasesolutionmatrixbyintegralget,butwhencoefficientmatrixisconstantmatrix,canpassoutthebasesolutionmatrixmethod,thenareavailablematrixexponentialt,thegener

4、alformbasesolutionmatrix,thepaperdiscussesthemostwidelyuseddifferentialequationswithconstantcoefficients,combinedwithdifferentialequations,linearalgebra,discussknowledgeofhomogeneouslineardifferentialequationwithconstantcoefficientsofbasesolutionmatrixseveralgeneralca

5、lculationmethod.Keyword:linearhomogeneoussystemwithconstantcoefficients;matrixofbasicsolutions;matrixexponent引言:线性微分方程组的求解历来是常微分方程的重点，根据线性微分方程组的解的结构理论，求解线性微分方程组的关键在于求出对应齐次线性微分方程组的基解矩阵，本文主要讨论齐次线性微分方程组X’＝AX★的基解矩阵的计算问题，这里A是常数矩阵.一．矩阵指数的定义和性质：1.矩阵范数的定义和性质定义：对于矩阵A＝n×n和n维向量X

6、＝定义A的范数为＝，=设A，B是n×n矩阵，x，y是n维向量，易得下面两个性质：（1）≤，≤；（2）≤+，≤+.2.矩阵指数的定义和性质：(!)定义：如果A是一个n×n常数矩阵，我们定义矩阵指数为下面的矩阵级数的和：==E+A++…++…（1.0）其中E为n阶单位矩阵，是A的m次幂，这里我们规定=E，0！=1这个级数对于所有的A都是收敛的.因次是一个确定的非负矩阵，特别的，对所有元均为0的零矩阵0，有exp0=E.事实上，由上面范数的性质（1），易知对于一切正整数k，有≤，又因对于任一矩阵A，是一个确定的实数，所以数值级数+++…

7、++…是收敛的.进一步指出，级数t=在t的任何有限区间上是一致收敛的.事实上，对于一切正整数k，当≤c（c是某一整数）时，有≤≤，而数值级数是收敛的，因而t=是一致收敛的.（2）矩阵指数的性质：①若矩阵A，B是可交换的，即AB=BA，则（A+B）=；②对于任何矩阵A，存在，且=exp（-A）；③如果T是非奇异矩阵，则exp（AT）=（）T.3.有关常系数奇次线性微分方程组★的基本问题定理1：矩阵（t）=t（1.1）是★的基解矩阵，且（0）=E.证明：由定义易知（0）=E，将（1.1）对t求导，得（t）==A+t++…++…=At=

8、A（t）这就表明，（t）是★的解矩阵，又（0）==1因此（t）是★的解矩阵.证毕.注1：由定理1，我们可以利用这个基解矩阵推知★的任一解（t）=（t）C这里C打、是一个常数向量.例1：如果A是一个对角矩阵A=（其中未写出的元均为零）试找出=Ax的基