高等数学课件1-5无穷大与无穷小

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1、无穷是一个永恒的谜－－－Hilbert第五节无穷小和无穷大（一）无穷小（二）无穷大（三）二者关系（四）无穷小的阶一、无穷小定义1：在自变量的某种趋势下，以零为极限的函数（变量）称为无穷小量，简称无穷小.例如：注意（1）无穷小是变量,不能与很小的数混淆;（3）零是可以作为无穷小的唯一的数.（2）无穷小是变量的一种变化趋势;例如,证2、无穷小与函数极限的关系:意义（1）将一般极限问题转化为特殊极限问题(无穷小);3、无穷小的运算性质:定理2在同一过程中,有限个无穷小的代数和仍是无穷小.注意无穷多个无穷小的代数和未必是无穷小.定理

2、3有界函数与无穷小的乘积是无穷小.推论1在同一过程中,有极限的变量与无穷小的乘积是无穷小.推论2常数（有界量）与无穷小的乘积是无穷小.推论3有限个无穷小的乘积也是无穷小.都是无穷小注意无穷多个无穷小的乘积未必是无穷小.二、无穷大特殊情形：正无穷大，负无穷大．证证注意（1）无穷大是变量,不能与很大的数混淆;（3）无穷大是一种特殊的无界变量,但是无界变量未必是无穷大.是无界变量，但不是无穷大量三、无穷小与无穷大的关系定理4在同一过程中,无穷大的倒数为无穷小;恒不为零的无穷小的倒数为无穷大.意义关于无穷大的讨论,都可归结为关于无穷

3、小的讨论.四、无穷小的阶及其比较例如,极限不同,反映了趋向于零的“快慢”程度不同.比较定义:例如，例4解？？？是不是任意两个无穷小都可以进行阶的比较不存在且不为无穷大意义：用等价无穷小可给出函数的近似表达式．例如,常用等价无穷小:例5解小结1、主要内容:定义;定理;推论.2、几点注意:无穷小与无穷大是相对于过程而言的.（1）无穷小（大）是变量,不能与很小（大）的数混淆，零是唯一的无穷小的数；（2）无穷多个无穷小的代数和（乘积）未必是无穷小；（3）无界变量未必是无穷大.3、无穷小的比较反映了同一过程中,两无穷小趋于零的速度快慢

4、,但并不是所有的无穷小都可进行比较.高(低)阶无穷小;同阶无穷小；等价无穷小;无穷小的阶.思考：已知x→0时是等价无穷小，求A，n.作业P58:3.偶4.偶（5.偶）