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《北师大版高中数学导学案《等比数列的综合应用》》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、第4课时 等比数列的综合应用知能目标解读1.进一步巩固等比数列的通项公式、性质及前n项和公式.2.掌握数列求和的常用方法——错位相减法.重点难点点拨重点：错位相减法求和的理解及等比数列性质的应用.难点：错位相减法求和的应用.学习方法指导如果数列{an}是等差数列，公差为d;数列{bn}是等比数列，公比为q,求数列{anbn}的前n项和，可以运用错位相减法.方法如下：设Sn=a1b1+a2b2+a3b3+…+anbn,当q=1时，{bn}是常数列，Sn=b1(a1+a2+a3+…+an)=;当q≠1时，则qSn=qa1b1+qa2b2+qa
2、3b3+…+qanbn=a1b2+a2b3+…+an-1bn+anbn+1,所以Sn-qSn=(1-q)Sn=a1b1+b2(a2-a1)+b3(a3-a2)+…+bn·(an-an-1)-anbn+1=a1b1+d·-anbn+1,所以Sn=.知能自主梳理1.在等比数列的前n项和公式Sn=中，如果令A=，那么Sn=.2.若Sn表示数列{an}的前n项和，且Sn=Aqn-A(A≠0，q≠0且q≠±1)，则数列{an}是.3.在等比数列{an}中，Sn为其前n项和.(1)当q=-1且k为偶数时，Sk,S2k-Sk，S3k-S2k(k∈N+)
3、;(2)当q≠-1或k为奇数时，数列Sk，S2k-Sk，S3k-S2k(k∈N+).［答案］ 1. Aqn-A2.等比数列3.不是等比数列 是等比数列思路方法技巧命题方向 等比数列性质的应用［例1］ (1)等比数列{an}，已知a1=5，a9a10=100，求a18；(2)在等比数列{bn}中，b4=3，求该数列前七项之积；(3)在等比数列{an}中，a2=-2，a5=54，求a8.［分析］ 由等比数列的性质可知：与首末两项等距离的两项积等于首末两项的积，与某一项距离相等的两项之积等于这一项的平方.［解析］ (1)∵a1a18=a9a10
4、,∴a18===20.(2)b1b2b3b4b5b6b7=(b1b7)(b2b6)(b3b5)b4.∵b24=b1b7=b2b6=b3b5,∴前七项之积为(32)3×3=37=2187.(3)解法一：a8=a5q3=a5·=54×=-1458.解法二：∵a5是a2与a8的等比中项，∴542=a8×(-2).∴a8=-1458.［说明］ 本题的求解，主要应用了等比数列的性质，若m,n,k,l∈N+且m+n=k+l，则am·an=ak·al.由此可见，在等比数列问题中，合理应用性质，可使解法简捷.变式应用1 已知{an}是等比数列，且a1a1
5、0=243,a4+a7=84,求a11.［解析］ ∵a4·a7=a1·a10,∴a4a7=243,a4=81a4=3又a4+a7=84,∴，或a7=3a7=81∴q=或q=3.∴a11=3q4=3×（）4=或a11=81×34=6561.命题方向 与前n项和有关的等比数列的性质问题［例2］ 各项都是正实数的等比数列{an}，前n项的和记为Sn,若S10=10,S30=70,则S40等于（ ）A.150B.-200C.150或-200D.400或-50［答案］ A［分析］ 本题思路较为广泛，可以运用等比数列前n项和公式列方程，确定基本量a
6、1,q后求解，也可以应用等比数列前n项和的性质求解.［解析］ 解法一：设首项为a1,公比为q，由题意知q≠±1.=10 ①由，=70 ②由以上两式相除得q20+q10-6=0,解得q10=2或q10=-3(舍去)，代入①有=-10，∴S40==-10×(-15)=150.解法二：易知q≠±1，由S10,S20-S10,S30-S20,S40-S30成公比为q10的等比数列,则S30=S10+(S20-S10)+(S30-S20)=S10+q10S10+q20S10，即q20+q10-6=0，解得q10=2或q10=-3（舍去），∴S4
7、0=S10+(S20-S10)+(S30-S20)+(S40-S30)=10(1+2+22+23)=150.解法三：运用性质Sm+n=Sm+qmSn求解，∵S30=S20+q20S10=S10+q10S10+q20S10从而有q20+q10-6=0，解得q10=2或q10=-3(舍去).∴S40=S30+q30S10=70+8×10=150.解法四：易知q≠±1,∵=，∴q20+q10-6=0,解得q10=2或q10=-3(舍去).又=，所以S40=150.［说明］ 在与等比数列的和有关的问题中，合理应用和的性质，可以简化运算，本题的解法
8、二运用了当q≠-1时，数列Sm，S2m-Sm,S3m-S2m,…仍成等比数列，公比为qm，解法三运用了等比数列的性质：Sm+n=Sm+qmSn，解法四运用了等比数列的性质：当q≠±1时，=.变
