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《数学：3.2.3《空间角的计算1》课件(新人教A版选修2-1)》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、3.2.3空间的角的计算空间向量的引入为代数方法处理立体几何问题提供了一种重要的工具和方法，解题时，可用定量的计算代替定性的分析，从而避免了一些繁琐的推理论证。求空间角与距离是立体几何的一类重要的问题，也是高考的热点之一。我们主要研究怎么样用向量的办法解决空间角的问题。空间的角：空间的角常见的有：线线角、线面角、面面角。空间两条异面直线所成的角可转化为两条相交直线所成的锐角或直角。故我们研究线线角时，就主要求范围内的角；斜线与平面所成的角是指斜线与它在面内的射影所成锐角，再结合与面垂直、平行或在面内这些特殊情况，线面角的范
2、围也是；两个平面所成的角是用二面角的平面角来度量。它的范围是。总之，空间的角最终都可以转化为两相交直线所成的角。因此我们可以考虑通过两个向量的夹角去求这些空间角。异面直线所成角的范围：思考：结论：一、线线角：所以与所成角的余弦值为解：以点C为坐标原点建立空间直角坐标系,如图所示，设则：所以：例一：练习：在长方体中，简解：直线与平面所成角的范围：思考：结论：二、线面角：例二：在长方体中，简解：所以~~~~练习：的棱长为1.正方体xyz设正方体棱长为1，l将二面角转化为二面角的两个面的方向向量（在二面角的面内且垂直于二面角的棱
3、）的夹角。如图，设二面角的大小为，其中DCBA三、面面角：①方向向量法：二面角的范围：例三：如图3，甲站在水库底面上的点A处，乙站在水坝斜面上的点B处。从A，B到直线（库底与水坝的交线）的距离AC和BD分别为和,CD的长为,AB的长为。求库底与水坝所成二面角的余弦值。解：如图，化为向量问题根据向量的加法法则有于是，得设向量与的夹角为，就是库底与水坝所成的二面角。因此ABCD所以所以库底与水坝所成二面角的余弦值为ll三、面面角：二面角的范围：②法向量法注意法向量的方向：一进一出，二面角等于法向量夹角；同进同出，二面角等于法向
4、量夹角的补角设平面方向朝面外，方向朝面内，属于“一进一出”的情况，二面角等于法向量夹角小结：1.异面直线所成角：2.直线与平面所成角：lDCBA3.二面角：ll一进一出，二面角等于法向量的夹角；同进同出，二面角等于法向量夹角的补角。2、如果平面的一条斜线与它在这个平面上的射影的方向向量分别是=（1，0，1），=（0，1，1），那么这条斜线与平面所成的角是______.3、已知两平面的法向量分别m=(0,1,0),n=(0,1,1)，则两平面所成的钝二面角为______.练习:1、已知=(2,2,1),=(4,5,3),则平
5、面ABC的一个法向量是______.60013504.三棱锥P-ABCPA⊥ABC,PA=AB=AC,,E为PC中点,则PA与BE所成角的余弦值为_________.5.直三棱柱ABC-A1B1C1中,A1A=2,AB=AC=1,则AC1与截面BB1CC1所成角的余弦值为_________.6.正方体中ABCD-A1B1C1D1中E为A1D1的中点,则二面角E-BC-A的大小是________7.正三棱柱中，D是AC的中点，当时，求二面角的余弦值。CADBC1B1A18.已知正方体的边长为2，O为AC和BD的交点，M为的中
6、点（1）求证：直线面MAC;（2）求二面角的余弦值.B1A1C1D1DCBAOM解法一：如图，以C为原点建立空间直角坐标系C-xyz。设底面三角形的边长为a，侧棱长为b,则C(0,0,0)故则可设=1，，则B(0,1,0)yxzCADBC1B1A1FE作于E,于F，则〈〉即为二面角的大小在中，即E分有向线段的比为由于且，所以在中，同理可求∴cos〈〉=∴即二面角的余弦值为yxzCADBC1B1A1FE解法二：同法一，以C为原点建立空间直角坐标系C-xyz在坐标平面yoz中设面的一个法向量为同法一，可求B(0,1,0)∴可取
7、＝(1,0,0)为面的法向量∴yxzCADBC1B1A1由得解得所以，可取二面角的大小等于〈〉∴∴cos〈〉=即二面角的余弦值为方向朝面外，方向朝面内，属于“一进一出”的情况，二面角等于法向量夹角8.①证明：以为正交基底，建立空间直角坐标系如图。则可得8.已知正方体的边长为2，O为AC和BD的交点，M为的中点（1）求证：直线面MAC;（2）求二面角的余弦值.B1A1C1D1DCBAOMxyz②B1A1C1D1DCBAOMxyz习题课例1如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC,
8、E是PC的中点，作EF⊥PB交PB于点F.(1)求证：PA//平面EDB(2)求证：PB⊥平面EFD(3)求二面角C-PB-D的大小。ABCDPEFABCDPEFXYZG解：如图所示建立空间直角坐标系，点D为坐标原点，设DC=1(1)证明：连结AC,AC交BD于点G,连结EGABCDPEFXYZG(2)
